Manuel de mathématiques Triangle 3ème
Chapitre 3 Racines carrées

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Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais...
Exercice 1 page 41 Calculer des carrés
a) Dans chacun des cas suivants, trouver le nombre positif dont le carré est:
1. 49
2. 64
3. 0,04
4. 0,36
5. 10000
6. `'9/25
b) Écrire la liste des nombres inférieurs à 200 qui sont des carrés.
c) Sur l'ordinateur, programmer une feuille de calcul pour écrire les nombres entiers inférieurs à 1000 qui sont des carrés. Y a-t-il autant de nombres pairs que de nombres impairs?

Exercice 2 page 41 Utiliser la touche `'@ d'une calculatrice
a) Tracer un triangle ABC rectangle en A tel que `'¨a¨b"5 cm et `'¨b¨c"13 cm. Calculer AC.
b) Tracer un triangle EFG rectangle en F tel que `'¨e¨f"5 cm et `'¨f¨g"6 cm. Calculer EG. Donner l'arrondi à 0,1 cm près.

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Calculer avec des racines carrées
Activité 1 page 42 Question historique
Trouver, si possible:
a) un nombre dont le carré est égal à 25. Combien y a-t-il de solutions?
b) un nombre dont le carré est égal à 0. Combien y a-t-il de solutions?
c) un nombre dont le carré est égal à -1. Combien y a-t-il de solutions?
d) un nombre dont le carré est égal à 2. Combien y a-t-il de solutions?

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Exercice 11 page 45 Conduire un calcul avec des racines carrées
a) Réduire, si possible, les expressions suivantes. (Donner les valeurs exactes.)
`'¨a"5*3@7
`'¨b"5!3@7
`'¨c"2@5*3@5
`'¨d"2@5!3@5
`'¨e"3@2*5@3
`'¨f"3@2!5@3
`'¨g"5@7-7@7
`'¨h"@„3^2!2^2;
`'¨i"@8-2@2
`'¨j"@8*(-2@2)
`'¨k"2@5/@15
`'¨l"8@6/2@3

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Exercice 6 page 49
Dire de quel nombre positif les nombres suivants sont les carrés.
a) 0,01; 1,44; 2,25; 0,81.
b) 4,41; 0,64; 1,69; 0,0049.

Exercice 7 page 49
Tracer un triangle ABC rectangle en C tel que `'¨a¨b"6,8 cm et `'¨b¨c"3,2 cm. Calculer AC.

Exercice 8 page 49
Tracer un triangle KLM rectangle en M tel que `'¨k¨m"6 cm et `'¨m¨l"3 cm. Calculer KL.

Exercice 9 page 49
Trouver si possible:
a) un nombre dont le carré est égal à 16. Combien y a-t-il de solutions?
b) un nombre dont le carré est égal à -64. Combien y a-t-il de solutions?
c) un nombre dont le carré est égal à 5. Combien y a-t-il de solutions?
d) un nombre dont le carré est égal à 0. Combien y a-t-il de solutions?
e) un nombre dont le carré est égal à 0,81. Combien y a-t-il de solutions?
f) un nombre dont le carré est égal à 13. Combien y a-t-il de solutions?

Exercice 10 page 49
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x^2"36
b) `'x^2"17
c) `'x^2"-4
d) `'x^2"0

Exercice 11 page 49
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x^2"0,49
b) `'x^2"1,6
c) `'x^2"-0,25
d) `'x^2"1,44

Exercice 12 page 49
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x^2"4/9
b) `'x^2"1/16
c) `'x^2"-64/9
d) `'x^2"11/4

Exercice 13 page 49
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x^2-100"0
b) `'x^2!25"0
c) `'x^2-9/16"0

Exercice 14 page 49
Résoudre les équations suivantes.
a) `'4x^2"36
b) `'7x^2"49
c) `'6x^2"96
d) `'-2x^2"24

Exercice 17 page 49
Sans calculatrice, donner l'encadrement à l'unité de:
a) `'@9,3
b) `'@17,3
c) `'-@2
d) `'-@27

Exercice 18 page 49
Avec une calculatrice, calculer l'arrondi au millième près des nombres suivants.
a) `'@155
b) `'@29
c) `'@103
d) `'@4536
e) `'@589

Exercice 19 page 49
Compléter les égalités suivantes.
a) `'@16"…
b) `'@..."7
c) `'3@25"…
d) `'@..."100
e) `'@8*…"8
f) `'@7*…"-7

Exercice 20 page 49 Vrai ou faux?
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) 25 est la racine de 5.
b) 9 a pour carré 81.
c) 25 est la racine carrée de 625.
d) 9 a pour racine carrée -3.
e) 0,1 est la racine carrée de 0,01.
f) 4,5 est la racine carrée de 16,25.

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Exercice 21 page 50
Quelle est la nature des nombres suivants?
a) `'@81
b) `'@1,96
c) `'@23
d) `'@0
e) `'@„4/9;
f) `'@6

Info: Les nombres irrationnels
En latin, ratio signifie "compter". Étymologiquement, un nombre irrationnel est "un nombre que l'on ne peut pas compter".
Dans un nombre irrationnel, le nombre de décimales est infinie et sans période.
On l'oppose, par définition, au nombre rationnel quotient de deux entiers dont l'écriture décimale peut être finie ou infinie et, dans ce cas, nécessairement périodique. 
Par exemple, `'2/7"0,285714285714285714... est un nombre rationnel. (285714 étant la période).
Un des nombres irrationnels les plus célèbres est `'¤p. `'@2 est aussi un nombre irrationnel.
Pour trouver une valeur approchée de `'@2, les Babyloniens consultaient une table des carrés: ils obtenaient alors un encadrement de la racine carrée entre deux valeurs.
Dans leurs calculs, ils prenaient la valeur `'1!25/60 comme valeur approchée de `'@2.

Exercice 22 page 50
Sans calculatrice, calculer.
a) `'(@7)^2
b) `'(3@2)^2
c) `'2@5*@6
d) `'@„27^2;
e) `'(1/@9)^2
f) `'(@431)^2
g) `'-@„47^2;
h) `'@„3^4;
i) `'@„2^6;

Exercice 23 page 50
Sans calculatrice, calculer.
a) `'(5@2)^2!1
b) `'(-2@3)^2!2@5*@5
c) `'@16!3^2
d) `'3(@2)^2-5@„2!2;

Exercice 24 page 50
a) Donner un ordre de grandeur des expressions suivantes en faisant les calculs de tête.
`'¨a"@„36!28;
`'¨b"@36!28
`'¨c"@36,1!2
`'¨d"@„36,1!2;
`'¨e"24/„@36,1!2;
`'¨f"24/@36,1!2

b) Calculer en utilisant la calculatrice les expressions du a). Donner l'arrondi à 0,1 près. Comparer avec les résultats trouvés en a).

Exercice 26 page 50
Donner la valeur exacte des calculs suivants.
`'¨a"@3*@7
`'¨b"@3*@48
`'¨c"@50/@2
`'¨d"@56/@14
`'¨e"(3@2)^2
`'¨f"„@6*@7;/„@2*@3;

Exercice 27 page 50
Écrire les nombres suivants sous la forme `'@a; où a est un nombre entier positif.
`'¨a"2@3
`'¨b"4@6
`'¨c"3@11
`'¨d"4@10

Exercice 29 page 50
Écrire les expressions suivantes sous la forme `'@a où a est un nombre entier.
`'¨a"3@2
`'¨b"10@7
`'¨c"@18/3
`'¨d"2@27/3

Exercice 30 page 50 Vrai ou faux?
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) Le produit de 3 par `'@6 est `'@54.
b) Le double de `'@15 est `'@30.
c) La moitié de `'@12 est `'@3.
d) Le quart de `'@16 est 1.

Exercice 31 page 50
Donner sous la forme `'@a le rayon d'un cercle dont le diamètre mesure `'@12 cm.

Exercice 32 page 50
Écrire les nombres suivants sous la forme `'a@b avec a et b nombres entiers et b positif le plus petit possible.
`'¨n"@45
`'¨p"@27
`'¨r"@12
`'¨s"@50

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Exercice 34 page 51
Écrire les nombres suivants sous la forme `'a@b avec a et b nombres entiers et b positif le plus petit possible.
`'¨a"@150
`'¨b"-@54
`'¨c"@28
`'¨d"@125

Exercice 36 page 51
Écrire les nombres suivants sous la forme `'a@b avec a et b nombres entiers et b positif le plus petit possible.
`'¨h"3@20
`'¨i"2@18
`'¨j"3@54

Exercice 38 page 51
Écrire les expressions suivantes sous la forme `'a@b avec a et b nombres entiers et b positif le plus petit possible.
`'¨g"@75!@27
`'¨h"7@63-3@28!@7
`'¨i"@50!2@18
`'¨j"2@24-4@54

Exercice 39 page 51
Réduire les expressions suivantes.
`'¨j"@12!@27
`'¨k"@2-@8
`'¨l"@16-@25
`'¨m"3@2-5@8!3@18
`'¨n"5@12-3@3

Exercice 41 page 51
Réduire, si possible, les expressions suivantes.
`'¨a"3*7@2
`'¨b"3!7@2
`'¨c"3@3*(-2@6)
`'¨d"3@3!2
`'¨e"3@2!2@3
`'¨f"4@5!2@5
`'¨g"-3@2!5@2
`'¨h"(-2@7)*4@7

Exercice 42 page 51
Réduire si possible les expressions suivantes.
`'¨h"3@2/@8
`'¨i"12@3/3@12
`'¨j"5@14/@28
`'¨k"@150/5@2

Exercice 43 page 51
Réduire si possible les expressions suivantes.
`'¨l"@18-5@2
`'¨m"@18*(-5@2)
`'¨n"@28-2@21*@3
`'¨p"3@6*@2-@2

Exercice 44 page 51
Effectuer les calculs et donner les résultats sous la forme `'a!b@c avec a, b et c nombres entiers et c positif le plus petit possible.
`'¨a"2@5(@5!1)
`'¨b"3@2(1-@2)
`'¨c"3@7(-2@7!1)
`'¨d"5@3(@3!4)
`'¨e"(4-@5)*3@5
`'¨f"@6(6-@6)

Exercice 45 page 51
Effectuer les calculs et donner les résultats sous la forme `'a!b@c avec a, b et c nombres entiers et c positif le plus petit possible
`'¨g"3@8-(5@8!1)
`'¨h"(@10!3)-(3-4@10)
`'¨i"6@3-(3!@12)
`'¨j"(4-@32)-(@50-7)

Exercice 46 page 51
Effectuer les calculs et donner les résultats sous la forme `'a!b@c avec a, b et c nombres entiers et c positif le plus petit possible
`'¨k"(@5!4)(3@5-2)
`'¨l"(3@2!1)(3@2-1)
`'¨m"(7@3-2)(@3!3)
`'¨n"(@11-1)(2@11-5)

Exercice 47 page 51
En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d'un entier et B sous la forme `'a@3 avec a entier.
`'¨a"(@2!1)(@2-1) et `'¨b"5@27!@75

Exercice 48 page 51
Développer et réduire les expressions suivantes.
`'¨a"(@5!3)(@5-3)
`'¨b"(@7!5)^2
`'¨c"(9-@3)^2
`'¨d"(2@5!3)^2

Exercice 49 page 51
Développer et réduire les expressions suivantes.
`'¨e"(5-3@6)^2
`'¨f"(2!4@3)(2-4@3)
`'¨g"(7-5@3)(7!5@3)
`'¨h"(@2!@8)^2

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Exercice 51 page 52
Calculer le volume des solides suivants. En donner la valeur exacte.
a) Un cube de côté `'@6 cm.
b) Une pyramide dont la base est un carré de côté `'2@2 cm et dont la hauteur est de `'@18 cm.

Exercice 54 page 52
On considère l'expression `'¨e"(x!2)(x-3)!(x-3)
a) Développer et réduire E.
b) Calculer E pour `'x"3 puis pour `'x"@2
c) Factoriser E.
d) Résoudre l'équation `'x^2-9"0.

Résoudre des problèmes
Exercice 55 page 52
Un carré ABCD a un côté AB de 4 cm.
a) Trouver la valeur exacte de AC.
b) Donner l'arrondi de AC à 0,1 cm près.

Exercice 56 page 52
MNP est un triangle isocèle et rectangle dont l'hypoténuse NP mesure `'@20 cm.
Calculer la valeur exacte de MN puis celle de MP.

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Exercice 60 page 53
Dans cet exercice, toutes les mesures sont données en cm.
La mesure du côté du carré est `'@3!3.
Les dimensions du rectangle sont `'@72!3@6 et `'@2. (Voir DER).
a) Calculer l'aire `'¨´a du carré; réduire l'expression obtenue.
b) Calculer l'aire `'¨´a' du rectangle.
c) Vérifier que `'¨´a"¨´a'

Exercice 61 page 53
Sur la figure (Voir DER), `'¨o¨b"2 cm, `'¨o¨n"5 cm et `'¨a¨b"6 cm.
Calculer les valeurs exactes de OA, OM et MN.
La figure n'est pas à l'échelle.

Exercice 62 page 53
En utilisant les mesures figurant sur le dessin, démontrer que `'(¨a¨c) et `'(¨b¨d) sont parallèles. Toutes les mesures sont exprimées en cm.

Exercice 64 page 53
Calculer le volume d'un prisme droit de hauteur `'@20 cm et dont la base est un triangle de dimensions: 1 cm, 3 cm et `'@10 cm.

Exercice 65 page 53
Un cube a une arête de a cm. (Voir DER)
a) Écrire en fonction de a la longueur AH.
b) Écrire en fonction de a la longueur de la diagonale AG.
c) Si `'a"5 cm, calculer la valeur exacte de AG, puis donner l'arrondi à 0,1 cm près.