Manuel de mathématiques
Chapitre 13 Géométrie dans l'espace et sphères

Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais...
Activité 1 page 223 Reconnaître les solides
a) Parmi les solides représentés (Voir DER), quels sont ceux que vous connaissez? Donnez leur nature.
b) Quels sont les solides dont toutes les faces sont des polygones? Pour chacun de ces solides, déterminer le nombre de sommets, de faces et d'arêtes.

Activité 2 page 223 Représenter en perspective des solides
À main levée, représenter en perspective les solides suivants.
a) un cube.
b) un parallélépipède rectangle.
c) un cylindre.
d) une pyramide à base carrée.
e) un prisme droit à base triangulaire.
f) un cône.

Activité 3 page 224 Reconnaître et construire des patrons
a) Pour chacune des figures (Voir DER), préciser s'il s'agit du patron d'un solide. Si c'est le cas, préciser la nature de ce solide.
b) Tracer des patrons des solides suivants.
(1) Un cylindre de rayon 1,5 cm et de hauteur 5 cm.
(2) Un prisme de hauteur 2 cm et dont la base est un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm.
(3) Une pyramide dont la base est un carré de côté 2,5 cm et dont les faces sont des triangles isocèles superposables de hauteur 3 cm.

Activité 4 page 224 Calculer le volume des solides
a) Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle de dimensions: 8 cm, 6 cm et 4 cm.
b) Calculer le volume d'un cube d'arête 3 cm.
c) Calculer le volume d'un cylindre de hauteur 4 cm et dont la base est un disque de rayon 3 cm.
d) Calculer le volume des solides (Voir DER).

Activité 5 page 224 Reconnaître des arêtes parallèles, des arêtes perpendiculaires
En utilisant le parallélépipède rectangle (Voir DER), préciser si les phrases suivantes sont vraies ou fausses.
a) Les droites `'(¨i¨l) et `'(¨i¨j) sont perpendiculaires.
b) Les droites `'(¨i¨h) et `'(¨h¨g) sont perpendiculaires.
c) Les faces IJKL et EFGH sont parallèles.
d) Les faces ILHE et EFGH sont perpendiculaires.

Activité 2 page 225 Distance et sphère
La figure (Voir DER) représente une sphère de rayon 5 cm et de centre O. Les droites `'(¨a¨b) et `'(¨c¨d) sont perpendiculaires ainsi que les droites `'(¨f¨e) et `'(¨a¨b).
a) Peut-on déterminer la longueur du segment `'à¨a¨bù?
b) Peut-on déterminer la longueur du segment `'à¨o¨gù?
c) Donner la nature des triangles EOB, AFB, CBD et COA.
d) Tracer à l'échelle 1, les triangles EOB et AFB.

Exercice 5 page 231
De quels solides sont composés les objets (Voir DER)?

Exercice 7 page 231
Dans chacun des cas (Voir DER) donner la nature et les caractéristiques des solides remplis représentés dans le cube.

Exercice 8 page 231
Tracer à main levée, les solides suivants.
a) Une pyramide à base carrée posée sur un cube de même base.
b) Un solide constitué d'un cône et d'un cylindre dont la base coïncide avec la base du cône.

Exercice 9 page 231
Les figures (Voir DER) sont-elles des patrons de solides? Si oui, préciser leur nature.

Exercice 10 page 231
a) Tracer un patron de cube d'arête 3 cm.
b) Tracer un patron de parallélépipède rectangle de dimensions 4 cm, 3 cm et 5 cm.

Exercice 11 page 231
a) Tracer un rectangle de dimensions 6 cm et 3 cm.
b) Compléter la figure pour tracer le patron d'un cylindre de hauteur 3 cm. (On prendra `'¤p´"3).

Exercice 12 page 231
Calculer le volume des solides (Voir DER).

Exercice 14 page 231 Vrai ou faux?
Voir DER.
ABDCEF est un prisme droit dont la base ABC est un triangle quelconque. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) Les arêtes `'à¨b¨eù et `'à¨b¨cù sont perpendiculaires.
b) Les arêtes `'à¨a¨cù et `'à¨a¨dù sont perpendiculaires.
c) Les arêtes `'à¨d¨eù et `'à¨e¨fù sont perpendiculaires.
d) Les faces ABC et DEF sont parallèles.

Exercice 15 page 232 Vrai ou faux?
Soit une sphère de centre O et de rayon 8 cm.
A, B, C sont trois points de l'espace tels que: `'¨o¨a"12 cm, `'¨o¨b"6 cm, `'¨o¨c"8 cm. Pour chacune des phrases suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse.
a) Le point B appartient à la sphère.
b) Le point A est extérieur à la boule.
c) Le point B appartient à la boule.
d) Le point C appartient à la sphère.

Exercice 16 page 232
Combien de boules de rayon 2,5 cm peut-on faire entrer dans la boîte? Voir DER.

Exercice 17 page 232
a) Représenter une sphère de rayon 2 cm et de centre O.
b) Représenter un grand cercle de la sphère.
c) Placer deux points M et N diamétralement opposés sur ce grand cercle.
d) Placer un point P sur la sphère.

Exercice 22 page 232
Calculer le volume des objets suivants. Donner l'arrondi au dixième de `'cm^3.
a) Un cochonnet de pétanque de diamètre 2,5 cm.
b) Une boule lyonnaise de rayon 40 mm.
c) Une balle de golf de diamètre 42,7 mm.
d) Une balle de tennis de diamètre 6,5 cm.

Exercice 23 page 232
Calculer l'aire des objets suivants. Donner l'arrondi au dixième de `'cm^2.
a) Un ballon de football de diamètre 22 cm.
b) Un ballon de basket de rayon 12 cm.
c) Un ballon de volley-ball de diamètre 21 cm.

Exercice 25 page 233
Associer chaque calcul au bon énoncé.

Les énoncés:
a) Aire d'une boule de rayon 4 cm
b) Volume d'une boule de rayon de 2 cm
c) Aire d'une boule de rayon 8 cm
d) Volume d'une boule de rayon 4 cm

Les calculs:
1. `'36¤p
2. `'64¤p
3. `'„4/3;*¤p*64
4. `'4*¤p*64

Exercice 26 page 233
a) Déterminer la valeur exacte en fonction de `'¤p, du volume d'une boule de diamètre 6 cm.
b) Déterminer l'arrondi au dixième de ce volume.

Exercice 27 page 233
a) Déterminer la valeur exacte en fonction de `'¤p de l'aire d'une sphère de diamètre 6 cm.
b) Déterminer l'arrondi au dixième de cette aire.

Exercice 29 page 233
a) On considère un cylindre dont la hauteur et le diamètre mesurent 8 cm et une boule de diamètre 8 cm. Sans faire de calcul, pronostiquer le solide qui a le plus grand volume.
b) Vérifier le pronostic fait à la question a) en effectuant les calculs nécessaires (`'¤p´"3).
c) Calculer les aires de ces deux solides (`'¤p´"3).

Exercice 30 page 233
Sur la figure (Voir DER) la base EFGH du pavé droit est dans le plan (`'¨´p).
Nommer:
a) une arête perpendiculaire au plan (`'¨´p).
b) une arête parallèle au plan (`'¨´p).
c) un point qui n'appartient pas au plan (`'¨´p).
d) le point d'intersection de la droite `'(¨a¨e) et du plan (`'¨´p).

Exercice 31 page 233
Sur la figure (Voir DER) la face ABCD du pavé droit est dans le plan (`'¨´p) et la face AEHD est dans le plan (`'¨´p').
Nommer, si possible:
a) une arête perpendiculaire au plan (`'¨´p) contenue dans le plan (`'¨´p').
b) une arête parallèle au plan (`'¨´p) contenue dans le plan (`'¨´p')
c) un point du plan (`'¨´p) qui n'appartient pas au plan (`'¨´p').
d) un point qui n'appartient ni au plan (`'¨´p) ni au plan (`'¨´p').
e) une arête parallèle au plan (`'¨´p) et parallèle au plan (`'¨´p').

Exercice 35 page 234
Voir DER.
On sectionne un cône de rayon 0,9 m et de hauteur `'¨s¨o"2,1 m par un plan perpendiculaire à la droite `'(¨s¨o). Ce plan coupe `'(¨s¨o) en H tel que `'¨s¨h"1,4 m.
Calculer le rayon du cercle de section.

Exercice 36 page 234
Voir DER.
SDEF est une pyramide à base triangulaire telle que `'¨s¨d"¨d¨e"15 cm, `'¨d¨f"18 cm et `'¨e¨f"9 cm. On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à la base. Ce plan coupe `'à¨s¨dù en A tel que `'¨s¨a"6 cm. Déterminer la nature et les dimensions de la section.

Exercice 37 page 234
On sectionne une sphère de centre O et de rayon 4 cm par un plan et on constate que le rayon du cercle de section est de 2 cm.
a) Faire une figure à main levée représentant cette situation.
b) Calculer la distance OH du centre O au plan de section.

Exercice 38 page 234
On sectionne une sphère de centre O par un plan. Soit H le centre du cercle de section et A un point de ce cercle.
a) Représenter cette situation en perspective.
b) Sachant que `'¨o¨h" 5 cm et `'¨a¨h"12 cm, calculer le rayon de la sphère.

Exercice 40 page 234
Calculer le volume des deux solides (Voir DER, la figure b n'a pas été transcrite). On donnera l'arrondi à 0,1 `'cm^3 près.

Exercice 41 page 234
Dans le parallélépipède rectangle (Voir DER) et dans le cylindre (Voir DER), on a placé deux boules de rayon 6 cm tangentes aux surfaces des solides.
a) Quelles sont les dimensions du parallélépipède et du cylindre?
b) Calculer la valeur exacte du volume occupé par les deux boules.
c) On remplit l'espace restant par de l'eau. Dans quel solide, le volume d'eau est-il le plus important?
(1) Faire un pronostic.
(2) Vérifier ce pronostic par le calcul.

Exercice 43 page 234
a) Quel est le rayon r d'une boule dont le volume, en `'cm^3, est de `'36¤p?
b) Quel est le rayon r d'une boule dont l'aire, en `'cm^2, est de `'8¤p? Donner la valeur exacte.

Exercice 46 page 235
On dispose d'une cloche à fromage qui est une demi-sphère de rayon 8 cm.
Quelle est la hauteur maximum d'un fromage de la forme d'un cylindre de rayon 6 cm qui peut tenir sous cette cloche?

Exercice 47 page 235 Au brevet
Voir DER. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne: `'¨a¨e"3 m; `'¨a¨d"4 m; `'¨a¨b"6 m.
a) (1) Que peut-on dire des droites `'(¨a¨e) et `'(¨a¨b)? Le justifier.
(2) Les droites `'(¨e¨h) et `'(¨a¨b) sont-elles sécantes?
b) (1) Calculer EG. On donnera la valeur exacte.
(2) En considérant le triangle EGC rectangle en G, calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale `'à¨e¨cù de ce parallélépipède rectangle.
c) Montrer que le volume de ABCDEFGH est égal à 72 `'m^3.
d) Montrer que l'aire totale de ABCDEFGH est égale à 108 `'m^2.

Exercice 48 page 235 Au brevet
La pyramide SABCD (Voir DER) a pour base le rectangle ABCD et pour hauteur le segment `'à¨s¨aù. L'unité de longueur est le centimètre.
On donne `'¨a¨b"8,2 et `'¨s¨a"4. On donne également `'¤:¨a¨s¨d"30´o
a) Donner, sans les justifier, la nature du triangle SAB et celle du triangle SAD.
b) Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle `'¤:¨s¨b¨a.
c) Calculer la valeur exacte de SD. En donner la valeur arrondie au millimètre.

Exercice 49 page 235
Voir DER
On sectionne un cylindre de hauteur 5 cm et de rayon 4 cm par un plan parallèle à l'axe `'(¨o¨o') tel que la distance de O au plan de section est de 2 cm.
a) Calculer BH puis en déduire AB. On donnera la valeur exacte.
b) Calculer l'aire de la surface de section. On donnera la valeur exacte.

Exercice 50 page 235
Voir DER
SDEF est une pyramide de hauteur `'à¨s¨dù et qui a pour base un triangle rectangle en E tel que: `'¨d¨e"1,8 cm et `'¨e¨f"2,4 cm.
On sectionne la pyramide par un plan parallèle à la base passant par le point A de `'à¨s¨dù tel que: `'¨s¨a"2,4 cm et `'¨a¨d"4,8 cm.
a) Calculer DF.
b) Quelle est la nature de la section? Calculer ses dimensions.
c) Calculer le volume de la pyramide SABC.

Exercice 51 page 235 Au brevet
Sur la figure (Voir DER) on a un cône de révolution tel que `'¨s¨a"12 cm. Un plan parallèle à la base coupe ce cône tel que `'¨s¨a'"3 cm. La figure n'est pas à l'échelle.
a) Le rayon du disque de base du grand cône est de 7 cm. Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
b) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit cône?
c) Calculer la valeur exacte du volume de ce petit cône, puis en donner la valeur arrondie au `'cm^3.

Exercice 52 page 235 Au brevet
Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan.
Un doseur de lessive liquide, représenté (Voir DER), a la forme d'une calotte sphérique de centre O et de rayon `'¨r"¨o¨a"4,5 cm. L'ouverture de ce récipient est délimitée par le cercle de centre H et de rayon `'¨h¨a"2,7 cm. La hauteur totale de ce doseur est HK.
a) Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO.
b) Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8,1 cm.
c) Le volume `'¨´v d'une calotte sphérique de rayon R et de hauteur h est donné par la formule: `'¨´v"„1/3;*¤ph^2(3¨r-h)
Calculer en fonction de `'¤p le volume exact du doseur en `'cm^3. En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur.