Triangle 3ème
Chapitre 8 Équations et inéquations

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Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais...
Exercice 1 page 129 Vérifier si un nombre est solution d'une équation
a) Pour chacune des deux équations suivantes, préciser si 4 est solution.
(1) `'5x!7"-x-11
(2) `'-3x!15"x-1
b) Même question avec `'(-3).

Exercice 2 page 129 Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
Résoudre les équations d'inconnue x suivantes:
a) (1) `'4x!5"2x!11
(2) `'7x-8"4x-4
(3) `'2x-3"-5x-17
b) (1) `'3(a-5)"4(3-2a)
(2) `'5!(6-2a)"(5a-11)-(6!3a)
c) (1) `'„2/3;x"5/2
(2) `'5x/3"2/5

Exercice 3 page 129 Résoudre des problèmes avec des équations
a) Thomas et Sidonie choisissent le même nombre.
Thomas multiplie par 4 le nombre qu'il a choisi et il ajoute 41 au résultat obtenu. Sidonie ajoute 20 au nombre qu'elle a choisi. Ils constatent alors qu'ils obtiennent le même résultat. Quel nombre Thomas et Sidonie ont-ils choisi?
b) Voici un énoncé.
Alex a uniquement des DVD de films comiques, d'aventures ou policiers. Il a en tout 75 DVD. Il a 5 films comiques de plus que de films d'aventures. Il a deux fois plus de films policiers que de films comiques. Combien Alex a-t-il de films d'aventures?
Pour résoudre ce problème, suivre les étapes suivantes.
(1) Appeler x le nombre cherché.
(2) Calculer en fonction de x le nombre de films comiques, le nombre de films policiers et le nombre de films d'aventures.
(3) Écrire une équation d'inconnue x traduisant le problème, la résoudre et conclure.

page 130 Résoudre des équations-produits
Activité 1 page 130 Des équations nouvelles
a) Résoudre l'équation `'(3x-6)(2x!7)"0
b) Résoudre les équations suivantes.
(1) `'(3x!12)(8-2x)"0
(2) `'(5!4x)^2"0
(3) `'x(2x-4)"0

Activité 2 page 130 Équation et factorisation
Résoudre les équations suivantes.
a) (1) `'5x^2-3x"0
(2) `'4x^2!12x!9"0
(3) `'x^2-36"0
b) (1) `'x^2-2x"-1
(2) `'4x^2"12x-9
(3) `'x^2"16
c) (1) `'(5x!12)(5-2x)!(5x!12)(3x-3)"0
(2) `'(2x-8)(5!5x)-(6x-13)(2x-8)"0
(3) `'(5!3x)^2-(5!3x)(x-7)"0
(4) `'(2x-4)^2-9"0

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Exercice 8 page 136
a) Pour chacune des deux équations suivantes, préciser si 3 est solution.
(1) `'3x!5"-2x-5
(2) `'-2x!12"x!3
b) Même question avec `'(-2).

Exercice 9 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'7x!5"4x!8
b) `'3x-5"x!1
c) `'-11!3x"-5x!5
d) `'3x-5"3x!1

Exercice 10 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'-3a!2"3a!14
b) `'2a!7"-2a-3
c) `'3a-11"-5a!4
d) `'-a-5"3a!1

Exercice 11 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'5!5x"2x!9
b) `'5-3x"4x!11
c) `'-12!4x"5x-11
d) `'25!2x"37-9x

Exercice 13 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'5(x-2)"2x!(x!6)
b) `'12-(5x-9)"4x!3
c) `'5!3(2x!2)"6-4(x!1)

Exercice 14 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'5-3(b!2)"(2b!7)-(b-12)
b) `'(2b!17)-(4b-5)"3b-7
c) `'(2b-6)-2(3b-5)"2(6-2b)

Exercice 15 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a) `'3x/4"6/5
b) `'„7/5;x"3/2
c) `'5x/2"3/4

Exercice 16 page 136
Résoudre les équations suivantes.
a)`'11x/3"22/9
b) `'„4/13;x"6/26
c) `'9x/2"3/6

Exercice 17 page 136
Flora et Tom choisissent un même nombre. Flora ajoute 5 au nombre qu'elle a choisi et multiplie par 2 le résultat obtenu. Tom ajoute 2 au nombre choisi et multiplie le résultat obtenu par 3. Ils constatent qu'ils obtiennent le même résultat.
Quel est le nombre choisi par Flora et Tom?

Exercice 18 page 136
Voici un énoncé: "Dans un collège, il y a 180 élèves en classe de 3e. Ces élèves font soit de l'allemand, soit de l'italien, soit de l'espagnol en langue vivante 2. En italien, il y a 20 élèves de plus qu'en allemand. En espagnol, il y a 2 fois plus d'élèves qu'en italien. Combien d'élèves font de l'allemand?"
Pour résoudre ce problème suivre les étapes suivantes.
(1) Appeler x le nombre cherché.
(2) Calculer en fonction de x le nombre d'élèves qui font de l'italien et le nombre d'élèves qui font de l'espagnol.
(3) Écrire une équation d'inconnue x qui traduit le problème, la résoudre et conclure.

Exercice 19 page 136
Après la vente de petits pains à la récréation de 10h, les élèves de 3e ont récupéré 85 euros. Cette somme est composée uniquement de billets de 10 euros et de billets de 5 euros. Il y a 2 billets de 5 euros de plus que de billets de 10 euros.
Combien les élèves ont-ils de billets de 10 euros?

Exercice 20 page 136
Dans une boutique informatique, Estelle constate qu'un DVD coûte 1,50 euros de plus qu'un CD. Si elle achète 6 DVD et 8 CD, elle paie 37 euros. Quel est le prix d'un CD?

Exercice 21 page 136
Voici un énoncé: "Caroline et Ophélie comparent leurs collections de flacons de parfum et constatent qu'elles ont le même nombre de flacons. Caroline donne 15 flacons à Ophélie. Ophélie se rend alors compte qu'elle a deux fois plus de flacons que Caroline. Combien chacune avait-elle de flacons dans sa collection au départ?"
Pour résoudre ce problème suivre les étapes suivantes.
(1) Appeler x le nombre de flacons de parfum qu'elles avaient chacune au départ.
(2) Écrire en fonction de x le nombre de flacons qu'ont Caroline et Ophélie une fois que Caroline en a donnés.
(3) Écrire une équation traduisant cet énoncé, résoudre cette équation et conclure.

Exercice 22 page 137
Astrid a 3 ans de plus que sa sœur Lou. Aurélien est deux fois plus âgé qu'Astrid.
En additionnant les âges de ces trois enfants on obtient sept fois l'âge de Lou.
a) Quel est l'âge de Lou?
b) Quel est l'âge d'Astrid?

Exercice 23 page 137
Calculer la hauteur d'un triangle dont le côté correspondant est de 5 cm et dont l'aire est de 30 `'cm^2.

Exercice 26 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(3x-9)(2x-8)"0
b) `'(4x-12)(5-2x)"0
c) `'(3x!6)(9!2x)"0
d) `'(5-2x)(6!3x)"0

Exercice 27 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x(2x-8)"0
b) `'(3x-12)^2"0
c) `'3x(-x!5)"0
d) `'4x(x-2)"0

Exercice 28 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'x^2-4x"0
b) `'3x^2-9x"0
c) `'4x^2"3x
d) `'x"x^2

Exercice 29 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'25x^2!10x!1"0
b) `'9x^2-12x!4"0
c) `'x^2!2x!1"0
d) `'16x^2-8x!1"0

Exercice 30 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'a^2-9"0
b) `'4a^2-1"0
c) `'25-9a^2"0

Exercice 31 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'9x^2"6x-1
b) `'4x^2!12x"-9
c) `'a^2"7
d) `'4a^2"3
e) `'a^2"-3
f) `'a^2"0

Exercice 33 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(x-2)(2x-1)!(x-2)(3x-4)"0
b) `'(3x-2)(5x-1)-(3x-2)(3x!4)"0
c) `'(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)"0

Exercice 34 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(2x-3)(5x!1)!(2x-3)(3x!4)"0
b) `'(5x-2)(5x-10)-(3x!2) (5x-10)"0
c) `'(3x-1)(x-3)-(x-3)^2"0

Exercice 35 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(3b-9)^2-1"0
b) `'(2b!5)^2-9"0
c) `'25-(4b-1)^2"0

Exercice 37 page 137
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(3x!7)!(3x!5)"0
b) `'(3x!7)(3x!5)"0
c) `'25x^2"20x-4
d) `'(2x-6)^2"4

Exercice 38 page 138
Résoudre les équations suivantes.
a) `'(3x-2)(4x!7)"-14
b) `'(3x-2)(4x!7)"0
c) `'(3x-2)-(4x!7)"0
d) `'(7x-12)(2x!2)-(4x!6)(7x-12)"0

Exercice 40 page 138 Au brevet
On considère l'expression: `'¨e"(3x!2)^2-(5-2x)(3x!2)
a) Développer et réduire l'expression E.
b) Factoriser E.
c) Calculer la valeur de E pour `'x"-2.
d) Résoudre l'équation `'(3x!2)(5x-3)"0. Les solutions de cette équation sont-elles des nombres décimaux?
D'après brevet Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Reims, Strasbourg juin 2006.

Exercice 41 page 138 Au brevet
On considère l'expression: `'¨e"4x^2-9!(2x!3)(x-2)
a) Développer et réduire l'expression E.
b) Factoriser `'4x^2-9. En déduire la factorisation de l'expression E.
c) (1) Résoudre l'équation `'(2x!3)(3x-5)"0.
(2) Cette équation a-t-elle une solution entière?
(3) Cette équation a-t-elle une solution décimale?
D'après brevet Nancy-Metz, Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Reims, Strasbourg, juin 2005.

page 140 Résoudre des problèmes
Exercice 59 page 140
Pierre choisit un nombre, il constate que le carré de ce nombre est égal au double de ce nombre.
Quel(s) nombre(s) a-t-il pu choisir?

Exercice 60 page 140
Héloïse calcule l'aire d'un carré. Léo calcule le périmètre de ce carré. Ils trouvent le même nombre. Est-ce possible?

Exercice 61 page 140 Au brevet
On donne un programme de calcul:
-Choisir un nombre.
-Lui ajouter 4.
-Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
-Ajouter 4 à ce produit.
-Écrire le résultat.

a) Écrire les calculs permettant de vérifier que si l'on fait fonctionner ce programme avec le nombre -2, on obtient 0.
b) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
c) (1) Faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d'un autre nombre entier. (Les essais doivent figurer sur la copie).
(2) En est-il toujours ainsi lorsqu'on choisit un nombre entier au départ de ce programme de calcul? Justifier la réponse.
d) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ?
D'après brevet France métropolitaine, juin 2007.

Exercice 63 page 140
Un pavé droit a deux faces carrées et une hauteur de 6 cm. Est-il possible que son volume et son aire totale soient exprimés par le même nombre? Si oui, quel est ce nombre?

Exercice 66 page 140
a) Démontrer que: `'x^2!6x-55"(x-5)(x!11)
b) On considère un rectangle dont la longueur a 6 cm de plus que la largeur.
Pour quelle(s) valeur(s) de la largeur ce rectangle a-t-il une aire de 55 `'cm^2?

Exercice 67 page 140
Sur le dessin (voir DER), déterminer x pour que l'aire texturée soit égale à 38 `'cm^2. Toutes les mesures sont données en centimètre.

page 144 Résoudre des équations produits
Exercice 94 page 144
Soit `'¨a"(3x-2)^2-(4x!1)^2
a) Développer A.
b) Factoriser A.
c) Résoudre `'¨a"0.

Exercice 95 page 144
Soit `'¨b"(5x-2)^2-(1-3x)^2
a) Développer B.
b) Factoriser B.
c) Résoudre `'¨b"0.

Exercice 97 page 144
Soit `'¨a"x(3x-1)-(x!5)(6x-2)
a) Développer A.
b) Factoriser A en remarquant que: `'6x-2"2*(3x-1)
c) Résoudre `'¨a"0.

Exercice 98 page 144
Soit `'¨b"(5x-7)(4x!1)-(15x-21)(6x-2)
a) Développer B.
b) Factoriser B en remarquant que `'15x-21"3*(5x-7)
c) Résoudre `'¨b"0.

Exercice 99 page 144
Soit `'¨c"(9x^2-1)!(3x-1)(x-1)
a) Factoriser `'9x^2-1.
b) Factoriser C.
c) Résoudre `'¨c"0.

Exercice 101 page 144
Soit `'¨a"16x^2-8x!1
Soit `'¨b"(16x^2-8x!1)-(4x-1)(3x-2)
a) Factoriser A.
b) Développer B.
c) Factoriser B.
d) Résoudre `'¨b"0.

Exercice 105 page 144
Bien choisir son inconnue! Soit trois entiers consécutifs rangés dans l'ordre croissant. La somme des carrés du premier et deuxième est égal au carré du dernier. Quels sont ces trois nombres?

Exercice 106 page 144
On considère trois entiers consécutifs. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier. Jonathan calcule le carré du deuxième nombre auquel il ajoute 2.
Ils obtiennent le même résultat.
Quels sont les entiers choisis au départ?

Exercice 108 page 144
Un cylindre a une hauteur de 3 cm.
Est-il possible que son aire latérale et son volume soient exprimées par le même nombre?
On prendra 3 pour valeur approchée de `'¤p.