Transmath `'3^me
Chapitre 11: triangles rectangles, trigonométrie
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Activités
4) Des problèmes de construction
On peut en profiter pour faire remarquer qu'un cosinus, un sinus sont compris entre 0 et 1.
a. Avec une équerre graduée et un compas, construire des angles aigus`'¤:¨e, `'¤:¨m, è '¤:¨t tels que: 
`'cos„¤:¨e;"4/5
`'sin„¤:¨m;"2/7
`'tan„¤:¨t;"1/4

b. Est-il possible de construire un angle aigu `'¤:¨k tel que `'sin„¤:¨k;"5/2?

c. Est-il possible de construire un angle aigu `'¤:¨f tel que `'tan„¤:¨f;"2?

Pour les activités 5 à 8, il faut penser à mettre la calculatrice en ¸mode ¸"degré".
5) Les toboggans
Objectif: réactiver l’utilisation d’un cosinus pour calculer la longueur d’un côté.
Certains toboggans forment un angle de `'50´o avec la verticale.
a. Le haut de l’un de ces toboggans est à 2 m du sol.
Avec les notations de la figure en annexe 1 page 1, expliquer pourquoi: `¨a¨t"2/„cos„50´o;;
Avec la touche "cos" de la calculatrice, donner l’arrondi au cm de la longueur `¨a¨t.

b. Pour un autre de ces toboggans, la longueur `'¨a¨t est 2,50 m.
À quelle hauteur du sol, arrondie au cm, se trouve le haut du toboggan?

6) L’échelle
Objectif: utiliser un sinus pour calculer la longueur d’un côté.
Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur vertical. Par mesure de sécurité, l’angle que fait l’échelle avec le sol doit être de `'75´o.
a. Avec les notations de la figure en annexe 2 page 1, expliquer pourquoi `'¨a¨c"6sin„75´o;.

b. Avec la touche "sin" de la calculatrice, donner l’arrondi au dixième de `¨a¨c.

7) Photographie aérienne
Objectif: utiliser une tangente pour calculer la longueur d’un côté.
Un archéologue prend des photographies aériennes d’un site en se plaçant à 200 m d’altitude. Il voit alors la zone qui l’intéresse sous un angle de `'25´o. (
Calculer l’arrondi au cm de la longueur `¨v¨t de la zone observée (annexe 3 page 2).

`'illustration non adaptée„'
Site archéologique de Palmyre (Syrie)

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8) Le filet de basket
Objectif: calculer une valeur approchée de la mesure d’un angle de sinus connu.
Jimmy veut installer chez lui un panier de basket.
Il doit le fixer à 3,05 m du sol.
L’échelle dont il se sert mesure 3,20 m de long (annexe 4 page 2).
a. Expliquer pourquoi `'sin„¨c;"0,953'125.

b. Avec la touche `'"sin^„-1;" ou "Asn" de la calculatrice, donner l’arrondi au degré de la mesure de l’angle`'¤:¨c.

c. Calculer l’arrondi au cm de la distance `¨b¨c.
Au c., on pourra comparer les résultats obtenus avec le théorème de Pythagore et avec `'tan„¤:¨c;.

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Exercices de base
Triangles rectangles
Pour les exercices 4 à 6: recopier et compléter la phrase se rapportant à la figure en annexe 5 page 3.

4) Dans le triangle ¨¨abc, `'à¨b¨cù est ... e t`'à¨a¨bù est le côté ... à l'angle `'¤:¨a¨b¨c.

5) Dans le triangle ¨¨adc rectangle en ..., `'à...ù est le côté opposé à l'angle `'¤:¨a¨c¨d; c'est aussi le côté ... à l'angle `'¤:¨c¨a¨d.

6) Dans le triangle ... rectangle en ...n `'à¨a¨bù est l'hypothénuse, `'à¨a¨dù est le côté adjacent à l'angle ...

Cosinus, sinus, tangente
7) ¨¨def est un triangle rectangle en E (annexe 6 page 3).
Donner les expressions de `'cos„¤:¨d;, `'sin„¤:¨d; et `'tan„¤:¨d;.

8) Dans le triangle ¨¨rst rectangle en R (annexe 7 page 3), quelles longueurs faut-il connaître pour calculer:
a. le cosinus de `'¤:¨s?
b. le sinus de `'¤:¨s?
c. la tangente de `'¤:¨s?

9) ¨¨cdl est un triangle dont les dimensions sont indiquées en annexe 8 page 4.
a. Démontrer que ce triangle est rectangle.
b. Calculer `'cos„¤:¨d;, `'sin„¤:¨d; et `'tan„¤:¨d;.

10) Avec la calculatrice, donner, dans chaque cas, l'arrondi au millième de:
a. `'cos„30´o;
b. `'sin„80´o;
c. `'tan„50´o;
d. `'cos„89´o;
e. `'sin„16´o;
f. `'tan„35´o;

11) Dans chaque cas, calculer l'arrondi au dixième de la longueur `¨a¨b.
a. `'cos„40´o;"„¨a¨b;/7
b. `'sin„55´o;"8/„¨a¨b;
c. `'tan„70´o"3/„¨a¨b;

12) Avec la calculatrice, donner, dans chaque cas, l'arrondi au degré de la mesure de l'angle:
a. `'cos„¤:¨a;"0,45
b. `'cos„¤:¨b;"3/5
c. `'sin„¤:¨m;"0,6
d. `'sin„¤:¨n;"17/50
e. `'tan„¤:¨d;"0,58
f. `'tan„¤:¨g;"4,1
Conseil: se reporter à l'exercice résolu 1 page 205.

Deux formules de trigonométrie
14) ¨¨abc est un triangle rectangle en A.
On sait que `'cos„¤:¨b;"0,8.
a. Quelle formule permet d’affirmer que: `'sin^2„¤:¨b;"1-cos^2„¤:¨b;?

b. En déduire `'sin^2„¤:¨b;, puis `'sin„¤:¨b;.

15) ¨¨mnp est un triangle rectangle en M.
On sait que: `'cos„¤:¨p;"0,96 et `'sinä¤:¨p;"0,28.
Calculer `'tan„¤:¨p; en arrondissant au centième.

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Exercices d'application
Cosinus, sinus, tangente
21) Annexe 9 page 4
a. Donner les expressions de `'cos„¤:¨b; et de `'sin„¤:¨b; dans le triangle ¨¨abc, puis dans le triangle ¨¨bhc.
b. Exprimer `'tan„¤:¨a; de deux façons différentes.

22) ¨¨abc est un triangle rectangle en B.
a. Quel est l'angle dont le cosinus est égal à `'„¨a¨b;/„¨a¨c;?
b. Quel est l'angle dont le sinus est égal à `'„¨a¨b;/„¨a¨c;?
c. Quel est l'angle dont la tangente est égale à `'„¨a¨b;/„¨b¨c;?

23) ¨¨toc est un triangle rectangle en T tel que: `'¨t¨c"5,2 cm et `'¨o¨c"6,5 cm.
a. Calculer la longueur `'¨t¨o.
b. En déduire les valeurs exactes de `'cos„¤:¨o;, de `'sin„¤:¨o; et de `'tan„¤:¨o;. Donner les réponses sous forme de fractions irréductibles.

Pour les exercices 26 à 29
Avec l’équerre graduée et le compas, construire un angle aigu `'¤:x¨ay qui vérifie la condition donnée.
26) `'cos„¤:x¨ay;"2/3

27) `'sin„¤:x¨ay;"5/6

28) `'tan„¤:x¨ay;"2/5

29) `'tan„¤:x¨ay;"3

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31) Construire un triangle ¨¨ijk rectangle en J tel que: `'¤:¨j¨i¨k"43´o et `'¨i¨j"7 cm.
Calculer la longueur `'¨i¨k en cm. Puis donner son arrondi au mm.

32) Avec les données codées sur la figure en annexe 10 page 4, calculer la longueur `'¨l¨u en m, puis donner son arrondi au cm.
Conseil: se reporter à l'exercice résolu 3 page 206.

33) Construire un triangle ¨¨lou rectangle en L tel que: `'¤:¨l¨o¨u"41´o et `'¨o¨u"7,9 cm.
Calculer la longueur `'¨l¨o en cm, puis donner son arrondi au mm.

34) Avec les données codées sur la figure en annexe 11 page 5, calculer la longueur `'¨a¨b en cm, puis donner son arrondi au mm.
Conseil: se reporter à l'exercice résolu 4 page 207.

35) La figure en annexe 12 page 5 n’est pas en vraie grandeur.
¨¨rst est un triangle rectangle en S tel que `'¤:¨r¨t¨s"59´o et `'¨R¨S"19 cm.
Calculer la longueur `¨s¨t et donner le résultat arrondi au mm près.
(Brevet 2006)

36) Avec les données codées sur la figure en annexe 13 page 5, calculer les arrondis au degré des mesures de l’angle `'¤:¨t et de l’angle `'¤:¨m.
Conseil : se reporter à l’exercice résolu 5, page 207.

37) Sur la figure en annexe 14 page 6, qui n’est pas à l’échelle, ¨¨abc est un triangle rectangle en B tel que: `'¨a¨b"2,7 cm et `'¨b¨c"3,6 cm.
a. Calculer l’arrondi au degré près de la mesure de l’angle `'¤:¨b¨a¨c.
b. Montrer par le calcul que: `'¨a¨c"4,5 cm.
(Brevet 2006)

38) ¨¨ijk est un triangle tel que: `'¨i¨j"9,6 cm, `'¨j¨k"10,4 cm, `'ï¨k"4 cm.
a. Tracer le triangle ¨¨ijk en vraie grandeur.
b. Calculer l’arrondi au degré de la mesure de l’angle `'¤:¨i¨k¨j.
Conseil: se reporter à l’atelier 1, page 208.

40) Pour mesurer la hauteur `¨b¨h d’un immeuble, un géomètre procède ainsi (annexe 15 page 6): il se place à 5 m de l’immeuble et mesure l’angle `'¤:¨i¨o¨h; il trouve `'76,8´o. Le point O représente l’œil de l’observateur: `'¨o¨p"1,70 m.
Calculer la hauteur de ce bâtiment et arrondir au mètre.

41) La tempête a cassé l’arbre dans le jardin de Camille (annexe 16 page 7). Elle mesure la distance entre le pied de l’arbre et son sommet sur le sol, elle trouve `'¨p¨s"4,5 m. Elle mesure l’angle entre le sol horizontal et le haut de l’arbre, elle trouve `'¤:¨p¨s¨c"25´o.
Calculer l’arrondi au dm de la hauteur de cet arbre avant la tempête.

42) Le départ du téléphérique est à une altitude de 1'349 m. L’arrivée est à une altitude de 2'103 m (annexe 17 page 7)
La longueur du câble (supposé tendu) est de 2'595 m.
Calculer l’arrondi au degré de la mesure a de l’angle formé par le câble avec l’horizontale.

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43) Dans un parc d’activités, une épreuve consiste à parcourir une certaine distance, entre deux arbres, avec une tyrolienne (sorte de poulie qui permet de glisser le long d’un câble). On sait que le câble représenté par le segment `'à¨a¨bù (annexe 18 page 7) mesure 75 m de long et qu’il fait un angle de `'5´o avec l’horizontale représentée par le segment `'à¨b¨cù.
a. Calculer la valeur, arrondie au cm, de la distance `¨b¨c entre les deux arbres.

b. En utilisant une relation trigonométrique, calculer la troncature au cm de la différence de hauteur entre les deux plates-formes représentée par le segment `'à¨a¨cù.
(Brevet 2003)

Deux formules de trigonométrie
44) `'¤:x¨by est un angle aigu tel que `'cos„¤:x¨by;"0,6.
a. Utiliser la formule `'cos^2„¤:x¨by;!sin^2„¤:x¨by;"1 pour calculer `'sin„¤:x¨by;.
b. En déduire `'tan„¤:x¨by; sous forme d’une fraction irréductible.

45) ¨¨abc est un triangle rectangle en A.
On sait que `'sin„¤:¨c;"0,936.
a. Utiliser la formule `'cos^2„¤:¨c;!sin^2„¤:x¨by;"1 pour calculer la valeur de `'cos„¤:¨c;.
b. En déduire l’arrondi au millième de `'tan„¤:¨c;.

46) ¨¨mnp est un triangle rectangle en M.
On sait que `'sin„¤:¨n;"21/29.
Calculer les valeurs exactes de `'cos„¤:¨n; et `'tan„¤:¨n;.

47) `'¤:x¨ay est un angle aigu tel que: `'tan„¤:x¨ay;"12/5 et `'cos„¤:x¨ay;"5/13.
Calculer la valeur exacte de `'sin„¤:x¨ay; de deux façons différentes.

48) ¨¨efg est un triangle rectangle en F.
On sait que `'sin„¤:¨e;"8/17 et `'tan„¤:¨e;"8/15.
Calculer la valeur exacte de `'cos„¤:¨e; de deux façons différentes.

49) Angles complémentaires
¨¨abc est un triangle rectangle en A.
1. a. Donner les expressions de `'cos„¤:¨b; et de `'sin„¤:¨c;.
b. Expliquer alors pourquoi: `'cos„¤:¨b;"sin(90´o-¤:¨b).
2. Démontrer de même que: `'sin„¤:¨b;"cos(90´o-¤:¨b).