Mathématiques

G 2. Position relative de droites - Repérage
Cours

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1- Droites perpendiculaires
Définition: Deux droites sont perpendiculaires si elles sont sécantes en formant un angle droit.

Voir DER en annexe.
Exemple 1:
Les droites `'(d) et `'(d’) sont perpendiculaires.
On note `'(d)¤8(d’).
Exemple 2:
Construis la droite `'(d’) perpendiculaire à la droite `'(d) passant par le point M.
-On place l’un des côtés de l’angle droit de l’équerre sur la droite `'(d), et l’autre côté sur le point M. On trace la droite le long du côté de l’équerre.
-On prolonge la droite à l’aide de la règle.
-On nomme la droite `'(d’) et on code l’angle droit.

2- Droites parallèles
Définition: Deux droites sont parallèles si elles ne sont pas sécantes.
Remarque: Deux droites parallèles sont soient confondues, soit n’ont aucun point commun.

Voir DER en Annexe.
Exemple 1:
Les droites `'(d) et `'(d’) sont parallèles. On note `'(d)¸8(d’).
Exemple 2:
Construis la droite `'(d’’) parallèle à la droite `'(d) passant par le point N.
-On place un côté de l’angle droit de l’équerre sur la droite `'(d), et la règle sur l’autre côté de l’angle droit.
-L’équerre coulisse le long de la règle, jusqu’au point N, sans bouger la règle. On trace la droite le long du côté de l’équerre.
-On nomme la droite `'(d’’).

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3- Position relative de deux droites
Propriété 1
Deux droites sont:
-soit sécante;
-soit parallèles.
Propriété 2
Deux droites sécantes sont:
-soit perpendiculaires;
-soit non perpendiculaires.

Remarque: On peut résumer ceci dans un organigramme.
Voir DER en Annexe.

4- Médiatrice d’un segment
Définition: La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
Exemple:
Construis la médiatrice du segment `'[¨o¨s].
-On place le milieu du segment `'[¨o¨s] et on code les longueurs égales.
-On trace la droite perpendiculaire au segment `'[¨o¨s] qui passe par son milieu.
-On prolonge cette droite à l’aide de la règle. On code l’angle droit.

5- Distance et droites
A) Distance d’un point à une droite
Définition: La distance d’un point à une dorite est la plus courte distance entre ce point et un point quelconque de la droite.
Règle: Soit une droite `'(d) et un point A n’appartenant pas à `'(d). La distance du point A à la droite `'(d) est la longueur AH, où H désigne le pied de la perpendiculaire à `'(d) passant par A.

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Exemple:
Soit `'(d) une dorite et A un point n’appartenant pas à `'(d). Mesure la distance du point A à la droite `'(d).
-On trace la droite perpendiculaire à `'(d) qui passe par le point A.
-On mesure la longueur AH, où H est le pied de la perpendiculaire à `'(d).

B) Points équidistants d’une droite
Définition: L’ensemble des points situés à une même distance d’une droite `'(d) est constitué de deux droites parallèles à `'(d), situées de part et d’autre de `'(d).
Exemple: Soit `'(d) une droite. Construis l’ensemble des points situés à 3cm de cette droite.
-On trace une perpendiculaire `'(¨¤d) à `'(d). Elle coupe `'(d) en H. On place un point M sur `'(¨¤d), tel que `'¨m¨h"3cm, et un point `'¨m’ sur `'(¨¤d), de l’autre côté de `'(d), tel que `'¨m’¨h"3cm.
-On trace les parallèles à `'(d) qui passent respectivement par M et par `'¨m’. L’ensemble recherché est constitué des deux droites roses.

C) Distance entre deux droites parallèles
Définition: La distance entre deux droites parallèles est la plus courte distance entre deux points de ces deux droites.
Remarque: Cette distance est constante. Elle ne dépend pas des points choisis.
Règles: Soient `'(d) et `'(d’) deux droites parallèles. Soit un point A sur `'(d). La distance entre `'(d) et `'(d’) est la longueur AB, où B est le point d’intersection de cette perpendiculaire et de `'(d’).
Exemple: Soient `'(d) et `'(d’) deux droites parallèles. Quelle est la distance entre ces deux droites?
-On place un point A sur `'(d).
-On trace la perpendiculaire à `'(d’) passant par A.
-Elle coupe `'(d’) en B.
-La distance entre ces deux droites est la longueur AB.

Exercices - Je m’entraine

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Médiatrice d’un segment

Exercice 39:
Pour quelle(s) figure(s) peux-tu être certain que la droite `'(d) est la médiatrice du segment `'à¨a¨bù ? Pourquoi?
Voir DER en Annexe.

Exercice 40: Géométrie Dynamique
a. Place deux points distincts A et B, puis trace le segment `'à¨a¨bù .
Utilise le bouton Médiatrice pour tracer la médiatrice du segment `'à¨a¨bù .
b. Place deux points distincts C et D, puis trace le segment `'à¨c¨dù .
Sans utiliser le bouton Médiatrice, trace la médiatrice du segment `'à¨c¨dù .
Explique comment tu procèdes.

Exercice 41:
Reproduis cette figure dans un quadrillage, puis trace la médiatrice de chaque segment.
Voir DER en annexe.

Exercice 42:
Même consigne qu’à l’exercice précédent.
Voir DER en annexe.

Exercice 43:
Dans chaque cas, trace le segment de longueur donnée, puis trace sa médiatrice.
a. `'¨a¨b"4cm
b. `'¨c¨d"7cm
c. `'¨e¨f"6,4cm
d. `'¨g¨h"5.6cm

Exercice 44: Points alignés
a. Trace un segment `'à¨a¨bù de longueur 7cm.
b. Place le point C de la demi-droite `'à¨b¨a), situé à 12cm du point B.
c. Trace la médiatrice `'(m?1) du segment `'à¨a¨cù, et la médiatrice `'(m?2) du segment `'à¨a¨bù .
d. Que remarques-tu?

Exercice 45: Géométrie Dynamique
a. Construis un triangle ABC.
b. Construis les médiatrices des segments `'à¨a¨bù et `'à¨c¨bù . On appelle O leur point d’intersection.
c Trace la droite `'(d), perpendiculaire à `'(¨c¨a), passant par le point O. Que peux-tu en dire?
d. Trace le cercle de centre O passant par A. Que constates-tu?

Exercice 46:
Quelle figure ci-dessus correspond au programme de construction suivant?
Justifie ta réponse.
-Construis un triangle ABC, rectangle en A.
-Trace `'(d?1), la parallèle à `'(¨b¨c), passant par A.
-Trace `'(d?2), la médiatrice du segment `'à¨a¨bù.
-Trace D, le point d’intersection des droites `'(d?1) et `'(d2).?
Voir DER en annexe.