Mathématiques

G 3. Triangle et quadrilatères
Cours

Page 134

1- Triangles
A- Généralités
Définition: Un triangle est un polygone à trois côtés.
Vocabulaire: Un triangle a trois sommets et trois côtés.
Voir DER en annexe.
Exemple: Dans un triangle ABC, quel est le sommet opposé au côtés `@¨a¨bù? Et le côtés opposé au sommet A?
-Le sommet opposé au côté `@¨a¨bù est le point C.
-Le côté opposé au sommet À est le côté coté `@¨a¨b .

B- Construction d’un triangle
Exemple: Construis un triangle KLM tel que `¨k¨l"6 `cm; `¨l¨m"5 `cm et `¨k¨m"4,5 `cm.
-On trace un segment `à¨k¨lù de longueur `6 `cm.
-Le point M est à `5 `cm du point L: il appartient donc au cercle de centre L et de rayon `5 `cm.
-Le point M est à `4,5 `cm du point K: il appartient donc au cercle de centre K et de rayon `4,5 `cm. Le point M est le point d’intersection des deux arcs.

2- Triangles particuliers
A- Triangle isocèle
Définition:
Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Vocabulaire:
-Le sommet commun aux côtés de même longueur est appelé le sommet principal.
-Le côté opposé au sommet principal est appelé la base.
Voir DER en annexe.
Exemple: Le triangle ISO est isocèle en S. Quel est son sommet principal et quelle est la base?
Le triangle ISO est isocèle en S, donc les longueurs IS et SO sont égales.
-S est le sommet principal du triangle ISO.
-[IO] est la base du triangle ISO.

B- Triangle équilatéral
Définition: Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
Voir DER en annexe.

page 135

C- Triangle rectangle
Définition:
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Voir DER en annexe.
Vocabulaire:
Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse.
Exemple: Construis un triangle KHI, rectangle en K, tel que `¨k¨i"5 `cm et `¨h¨i"7 `cm.
-On trace un segment `à¨k¨iù de longueur `5 `cm.
-On trace la droite perpendiculaire en K à `(¨k¨i).
-On trace un arc de cercle de centre I et de rayon `7 `cm.
-Il coupe la perpendiculaire à `(¨k¨i) en H. On trace le segment `à¨h¨iù.

3- Quadrilatères
Définition:
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.
Vocabulaire:
Un quadrilatère a quatre sommets, quatre côtés et deux diagonales.
Voir DER en annexe.
Exemple: Dans un quadrilatère EFGH, quel est le sommet opposé au sommet E? Quelles sont ses diagonales? Nomme un côté consécutif au côté `à¨f¨gù.
-Le sommet opposé au sommet E est le sommet G.
-Ses diagonales sont les segments `à¨e¨gù et `à¨h¨fù.
-Un côté consécutif au côté `à¨f¨gù est le côté `à¨e¨fù ou le côté `à¨g¨hù.

4- Quadrilatères particuliers
À- Losange
Définition:
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Voir DER en annexe.

Exemple: Construis un losange ABCD tel que `¨a¨b"6 `cm et `¨b¨d"4,2 `cm.
-On trace un segment `à¨b¨dù de longueur `4,2 `cm.
-On construit un triangle ABD, isocèle en À, tel que `¨a¨b"¨a¨d"6 `cm.
-On construit le triangle CBD, isocèle en C, tel que `¨c¨b"¨c¨d"6 `cm.

Page 136

B- Rectangle
Définition: Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Voir DER en annexe.

-On trace un segment `¨c¨h de longueur `12 `cm.
-On trace la perpendiculaire à ce segment en H.
-On place un point O sur cette perpendiculaire tel que `¨o¨h"10 `cm.
-On trace la perpendiculaire à `(¨o¨h) en O.
-On trace la perpendiculaire à `(¨c¨h) en C.
-Ces deux droites se coupent en U.

C- Carré
Définition:
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre angles droits.
Voir DER en annexe.

Remarque: Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

D- Parallélogramme
Définition: Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 à 2.
Voir DER en annexe.

Remarque: Un carré, losange et un rectangle sont des parallélogrammes particuliers.

Exercices «à toi de jouer!»

Page 136

1. Construis un triangle VOL tel que:
`¨v¨o"4 `cm; `¨o¨l"6,3 `cm et `¨l¨v"3,8 cm.

2. Construis un triangle équilatéral EAU, de `45 `mm de côté.

3. Construis un triangle BOL, isocèle en B, tel que `¨b¨o"2,1 `cm et `¨o¨l"3,4 `cm.
Place le point S pour que BOSL soit un losange.

4.
a. Construis un triangle MDR, rectangle en D, tel que `¨m¨d"4,2 `cm et `¨d¨r"7,1 `cm.
b. Construis un triangle ILE , rectangle en E, tel que `¨e¨l"6,4 `cm et `¨l¨i"9,3 `cm.

5. Construis un losange VERT tel que:
`¨v¨e"4,5 `cm et `¨e¨t"6,9 `cm.

6. Construis un rectangle ITOU tel que:
`¨i¨t"5,7 `cm et `¨t¨o"43 `mm.

Page 137

Exercices - Je m’entraine

Triangles

7. Recopie et complète les phrases en utilisant les mots: «côté», «sommet», «triangle», et «opposé».
Voir DER en annexe.
a. ABC est un … .
b. `à¨a¨bù est un … .
c. C est un … .
d. `à¨b¨cù est le … … au … A.
e. B est le … … au … `à¨a¨cù.

8. Recopie et complète les phrases suivantes.
Voir DER en annexe.

a. Dans le triangle GFH, … est le côté opposé au sommet F.
b. Dans le triangle DHE, … est le sommet opposé au côté `à¨e¨hù.
c. Dans le triangle FEH, `à¨f¨eù est le côté opposé au sommet … .
d Dans le triangle … , E est le sommet opposé au côté `à¨g¨dù.

9. Complète et construis les figures.
a. 
Construis un triangle ABC tel que: `¨a¨b"6 `cm, `¨b¨c"5 `cm et `¨a¨c"3 `cm.
Voir DER en annexe.
b.
Construis un triangle ABC tel que: `¨a¨b"2 `cm, `¨b¨c"3 `cm et `¨a¨c"4,5 `cm.
c.
Construis un triangle ABC tel que: `¨ a¨b" … `cm, `¨b¨c" … `cm et `¨a¨c" … `cm.
Voir DER en annexe.
d. Voir DER en annexe et écris une consigne de construction pour le triangle.

10. Les triangles ci-dessous sont tracés à main levée. Construis-les en vraie grandeur. Tu laisseras les traits de construction apparents.
Voir DER en annexe.

11. Pour chaque question ci-dessous, dessine une figure à main levée, puis une autre en vraie grandeur.
a. Construis un triangle ABC tel que:
`¨a¨b"5,5 `cm, `¨a¨c"4 `cm et `¨b¨c"2 `cm.
b. Construis un triangle DEF tel que:
`¨d¨e"3 `cm, `¨d¨f"7 `cm et `¨e¨f"5 `cm.
c. Construis un triangle GHI tel que:
`¨h¨i"5,8 `cm, `¨i¨g"3,3 `cm et `¨g¨h"4,6 `cm.

12. Même consigne qu’à l’exercice précédent.
a. Construis un triangle JKL tel que:
`¨j¨l"4 `cm, `¨k¨l"4,4 `cm et `¨k¨j"2,3 `cm.
b. Construis un triangle MNO tel que:
`¨m¨n"3,7 `cm, `¨m¨o"7 `cm et `¨o¨n"5,3 `cm.
c. Est-il possible de construire un triangle PQR tel que:
`¨p¨q"9 `cm, `¨p¨r"5 `cm et `¨q¨r"3 `cm?
Explique ta réponse.

13. Reproduis les figures suivantes en vraie grandeur.
a. Voir DER en annexe.
b. Voir DER en annexe.

14. Triangle impossible?
a. Trace un segment `à¨a¨bù tel que `¨a¨b"10 `cm.
b. Trace le cercle de centre A et de rayon `7 `cm, et le cercle de centre B et de rayon `12 `cm.
c. Combien y a-t-il d’emplacements différents pour un point C, tel que le triangle ABC ait pour dimensions: `¨a¨b"10 `cm; `¨a¨c"7 `cm et `¨b¨c"12 `cm? Justifie.
d. Reprends les questions précédentes avec `¨a¨b"20 `cm. Que remarques-tu?
e. Quelle longueur peut-on donner au segment `@¨a¨bù pour qu’une telle construction reste possible?

Page 138

Triangles particuliers

15. Triangles particuliers
Voir DER en annexe.
a. Quelle est la nature du triangle GHI? Du triangle DEF? Du triangle JKL? Justifie tes réponses.
b. Dans le triangle DEF, comment s’appelle le point E? Comment s’appelle le côté `à¨f¨dù?
c. Dans le triangle JKL, comment s’appelle le côté `¨j¨kù?

16. Avec le codage
Voir DER en annexe.
a. Nomme les triangles isocèles tracés sur la figure ci-contre. Précise, pour chacun d’eux, son sommet principal et sa base.
b. Nomme les triangles équilatéraux tracés sur la figure.
c. Nomme les triangles isocèles que l’on peut tracer en joignant des sommets de la figure.

17. Avec le codage (bis)
Voir DER en annexe.
a. Nomme les triangles rectangles tracés sur la figure.
b. Précise, pour chacun d’eux, son hypoténuse.

18. À main levée uniquement
a. Trace à main levée un triangle ABC, isocèle en A, tel que `¨a¨b"3 `cm et `¨b¨c"4 `cm.
b. Trace à main levée un triangle équilatéral DEF tel que `¨d¨e"5 `cm.
c. Trace à main levée un triangle isocèle GHI, de sommet principal I, tel que `¨g¨h"7 `mm et `¨g¨i"15 `cm.
d. Trace à main levée un triangle JKL, rectangle en J, tel que `¨j¨l"5 `dm et `¨j¨k"9 `dm.
e. Trace à main levée un triangle MNO, rectangle en O, tel que `¨o¨n"45 `mm et son hypoténuse mesure `6,5 `cm.

19. Les triangles ci-dessous sont tracés à main levée.
Voir DER en annexe.
a. Écris une consigne de construction pour chaque triangle.
b. Construis chaque triangle en vraie grandeur.
(Laisse les traits de construction apparents.)

20. Dans chaque cas ci-dessous, trace un dessin à main levée, puis construis une figure en vraie grandeur.
a. Construis un triangle FIN, rectangle en F, tel que `¨f¨i"5 `cm et `¨n¨f"6 `cm.
b. Construis un triangle STU, isocèle en S, tel que `¨s¨t"5,8 `cm et `¨t¨u"3,2 `cm.
c. Construis un triangle équilatéral MNO de côté `5 `cm.

21. Même consigne qu’à l’exercice précédent.
a. Construis un triangle isocèle XYZ, de sommet principal Z, tel que `¨z¨x"3,5 `cm et `¨x¨y"6 `cm.
b. Construis un triangle TRS, rectangle en S, tel que `¨t¨s"7,2 `cm et `¨s¨r"8,5 `cm.
c. Construis un triangle GLU, rectangle en L, tel que `¨l¨g"8 `cm et `¨g¨u"10 `cm.

22. Géométrie Dynamique
a. Construis un triangle isocèle. Déplace les sommets pour vérifier que le triangle reste isocèle. Si ce n’est pas le cas, revois ta construction.
b. Déplace les sommets de ce triangle. Peut-il également être rectangle?

23. Construis un triangle REC, à la fois rectangle et isocèle en E, tel que `¨r¨e"4,5 `cm.

24. Géométrie Dynamique
a. Place deux points A et B distincts. Construis le cercle de diamètre `à¨a¨bù. Sur ce cercle, place un point C distinct de A et B. Construis le triangle ABC.
b. Déplace le point C. Quelle semble être la nature du triangle ABC?