Mathématiques 6^e.
Chapitre D 1 Proportionnalité.

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Cours.
1) Grandeurs proportionnelles.
Définition:
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant, ou en divisant, par un même nombre non nul les valeurs de l’autre.

Exemple:
Une station service propose un carburant au prix de `1,15 `¤e le litre (`2,15 `¤e/L).
-Si on double la quantité de carburant achetée, alors le prix est doublé.
-Si on triple la quantité achetée, alors le prix est triplé, etc.
-On obtient le prix à payer (en `¤e), en multipliant la quantité achetée (en L) par nombre `1,15.
-Les deux grandeurs sont donc proportionnelle.
-Le nombre `1,15 est appelé coefficient de proportionnalité.

Remarque: Deux grandeurs ne sont pas toujours proportionnelles.
En voici quelques-unes qui ne le sont pas:
-la taille d'une personne et son âge;
-le temps nécessaire pour nettoyer une plage et le nombre de participants au nettoyage.

2) Calculs dans une situation de proportionnalité
Pour illustrer une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité, où les nombres de la seconde ligne sont obtenus en multipliant ceux de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.

Exemple:
Complète le tableau de proportionnalité ci-contre.
`;Adaptation du tableau„’
M pour Masse de pommes (en kg)
P pour Prix (en `¤e)
--M: `2; P: …
--M: `8; P: `24
--M: …; P: `30
--M: …; P: `48
--M: `0,8; P: …

-À l'aide d'opérations sur les lignes ou les colonnes
On sait que `8 `kg de pommes coutent `24 `¤e. `2 `kg de pommes coutent `4 fois moins cher, puisque `2 `kg est une masse `4 fois moins grande que `8 `kg. Donc `2 `kg de pommes coutent `24!4"6 `¤e.
Si on achète `2 `kg, puis `8 `kg de pommes (donc `10 `kg de pommes), on paiera `6 `¤e, puis `24 `¤e (donc `30 `¤ e). On en conclut que `30 `¤e est le prix correspondant à `10 `kg de pommes.
`;Adaptation du tableau„’
M pour Masse de pommes (en kg)
P pour Prix (en `¤e)
--M: `2; P: `24:4"6
--M: `8; P: `24
--M: `2!8"10; P: `30
--M: `8*2"16; P: `48
--M: `0,8; P: `24:10"2,40

-À l'aide du coefficient de proportionnalité
On sait que `8 `kg de pommes coutent `24 `¤e. On cherche le coefficient de proportionnalité, c'est à dire le nombre manquant dans la multiplication: `8*..."24. Ce nombre est égal à `24!8"3.
`;Adaptation du tableau„’
M pour Masse de pommes (en kg)
P pour Prix (en `¤e)
coefficient de proportionnalité: `3
`¨m*3"¨p
`¨p:3"¨m
--M: `2; P: `6
--M: `8; P: `24
--M: `10; P: `30
--M: `16; P: `48
--M: `0,8; P: `2,40

Remarque:
Le coefficient de proportionnalité est ici le prix payé pour `1 `kg de pomme: `3 `¤e.
Une fois que l'on connait le prix payé pour `1 `kg, il est facile d'obtenir le prix pour n’importe quelle masse achetée!

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3) Pourcentage
Définition: Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité où la quantité totale est rapportée à `100.
Exemple:
Sur un pot de crème fraiche, on lit: «`30 `´ó de matière grasse ». Calcule la masse de matière grasse contenue dans un pot de crème fraiche de 250 `g.

-«`30 `´ó de matière grasse» signifie que `100 `g de crème fraiche contiennent `30 `g de matière grasse, la masse de matière grasse étant proportionnelle à la masse de crème fraiche.
Pour connaitre la masse de matière grasse contenue dans un pot de `250 `g, on peut utiliser plusieurs méthodes.

Première méthode: À l'aide d'un tableau de proportionnalité
`;Adaptation du tableau„’
C pour Masse de crème fraiche (en g)
G pour Masse de matière grasse (en g)
coefficient de proportionnalité: `0,30
`¨c*0,30"¨g
`¨g:0,30"¨c
--C: `100; G: `250
--C: `30; G: `75

Le coefficient de proportionnalité de ce tableau est le nombre manquant dans la multiplication `100*..."30. Ce nombre est égal à `30!100"0,30.
Ensuite, pour trouver la masse de matière grasse pour `250 `g de crème fraiche, on calcule: `250*0,30"75.

Deuxième méthode: En plusieurs étapes
Si `100 `g de crème fraiche contiennent `30 `g de matière grasse, alors, dans les mêmes proportions, `200 `g de crème fraiche en contiennent `60 `g et `50 `g de crème fraiche en contiennent `15 `g.
On en conclut que `250 `g en contiennent `75 `g (`60!15"75).

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Exercices «à toi de jouer!»

1. Lors d’une vente promotionnelle, on peut lire sur une affiche:

2 torchons pour `6,40 `¤e
5 torchons pour `16 `¤e
7 torchons pour `22 `¤e

S’agit-il d’une situation de proportionnalité? Explique ta réponse.

2. Reproduis et complète ce tableau de proportionnalité qui indique les tarifs à l’entrée d’un cinéma.
`;Adaptation du tableau„’
N Nombre de personnes
P pour Prix payé (en `¤e)
--N: `6; P: `42
--N: `2; P: …
--N: `8; P: …
--N: …; P: `84
--N: …; P: `70

Quel est le coefficient de proportionnalité de ce tableau?

3. La voiture de Marie consomme en moyenne `4,5 `L d’essence sur `100 `km.
a. Quelle est sa consommation d’essence si elle parcourt `50 `km? `250 `km? `1'250 `km?
b. Quelle distance Marie peut-elle parcourir avec `13,5 `L d’essence? Avec `135 `L d’essence?

4. Sur un terrain d’une surface totale de `600 `m^2, on construit une maison et un garage (séparé de la maison), le reste constituant un jardin.
Le jardin occupe `50 `´ó du terrain, le garage `10 `´ó.
a. Calcule la surface occupée par le jardin.
b. Calcule la surface occupée par le garage.
c. Calcule, de deux façons différents, la surface occupée par la maison.

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Exercices - Je m'entraine
Grandeurs proportionnelles ou non

5. Au magasin Val-Fruit, on peut lire au-dessus de l'étal de pommes: «`2,85 `¤e le kg».
a. Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cet énoncé?
b. Sont-elles proportionnelles? Justifie.

6. Au marché, le prix des pamplemousses est affiché ainsi: «`1,20 `¤e l'unité, `2 `¤e les deux».
a. Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cet énoncé?
b. Sont-elles proportionnelles? Justifie.

7. Nassim a `12 ans et chausse du `39.
a. Quelles sont les deux grandeurs qui interviennent dans cet énoncé ?
b. Sont-elles proportionnelles? Justifie.

8. Dans chaque cas ci-dessous, indique si, à ton avis, les grandeurs sont proportionnelles ou non. Justifie.
a. La masse et l'âge d'une personne.
b. La distance parcourue par une voiture roulant à vitesse constante et son temps de trajet.
c. La longueur du côté d'un carré et son périmètre.
d. Le prix d'un ticket de cinéma et la durée du film.

9. Pour chaque tableau ci-dessous, indique si les deux grandeurs considérées sont proportionnelles ou non. Justifie tes réponses.
a. Prix de stylos
`;Adaptation du tableau„’
S pour Nombre de stylos
P pour Prix payé (en `¤e)
--S: `3; P: `12
--S: `5; P: `20
--S: `7; P: `28
b. Prix des photos de classe
`;Adaptation du tableau„’
N pour Nombre de photos
P pour Prix payé (en `¤e)
--N: `2; P: `16
--N: `5; P: `20
--N: `10; P: `60
c. Masse de ciment pour la fabrication de béton
`;Adaptation du tableau„’
V pour Volume de béton (en `m^3)
M pour Masse de ciment (en kg)
--V: `1; M: `350
--V: `4; M: `1400
--V: `6; M: `2100

10. Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité? Justifie.
a.
`;Adaptation du tableau„’
--A: `2; B: `8
--A: `3; B: `12
--A: `7; B: `28

b.
`;Adaptation du tableau„’
--A: `2; B: `15
--A: `3; B: `21
--A: `4; B: `28

c.
`;Adaptation du tableau„’
--A: `2; B: `102
--A: `4; B: `104
--A: `5; B: `105

d.
`;Adaptation du tableau„’
--A: `2; B: `3,2
--A: `5; B: `8
--A: `7; B: `11

11 Devant une attraction de fête foraine, on peut lire: «`4 tickets pour `6 `¤e, `10 tickets pour `12 `¤e». Les prix sont-ils proportionnels au nombre de tickets achetés? Justifie ta réponse.

12. Les dimensions du premier rectangle sont-elles proportionnelles aux dimensions du deuxième rectangle? Justifie ta réponse.
rectangle A: hauteur: `3 `cm ; longueur: `4 `cm
rectangle B: hauteur: `4,5 `cm ; longueur: `6 `cm

13. Le tableau ci-dessous donne le prix de yaourts identiques, vendus par lot de `4, de `8 ou de `16.
Sans calculer le prix d'un yaourt dans chaque lot, détermine si le prix payé est proportionnel ou non au nombre de yaourts achetés.
`;Adaptation du tableau„’
N pour Nombre de yaourts achetés
P pour Prix payé (en `¤e)
--N: `4; P: `1,70
--N: `8; P: `3,40
--N: `16; P: `6,20

14. Justin fait du vélo trois fois par semaine et note, à chaque fois, la durée et la distance du parcours effectué. Voici ses derniers relevés.
`;Tableau à 3 Colonnes„’
Jour: Mercredi; Samedi; Dimanche
Durée (en h): `2; `3; `5
Distance (en km): `50; `75; `110

La distance parcourue par Justin est-elle proportionnelle à la durée du parcours? Justifie.

15. Hier, Sophie a cueilli `3 `kg de cerises en `45 `min. Ce matin, elle a cueilli `6 `kg de cerises en `1 heure et `30 minutes.
La masse de cerises cueillies est-elle proportionnelle à la durée de la cueillette ? Justifie ta réponse.