Mathématiques `6^e.
Chapitre G `5 - Axes de symétrie

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Cours.

`1) Axe de symétrie d’une figure

Définition:
Une droite `(d) est un axe de symétrie d’une figure si les deux parties de la figure se superposent par pliage le long de cette droite.

Exemple:
La figure H admet deux axes de symétrie (tracés en rouge) tandis que la figure F n’en a aucun.

`2) Axe de symétrie d’un segment

Définition:
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Propriété `1:
Un segment à deux axes de symétrie: la droite qui contient ce segment et la médiatrice de ce segment.

Propriété `2:
--Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.
--Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Exemple:
À la règle et au compas, construis la médiatrice du segment `à¨a¨bù.
Voir DER en annexe.

--Pour construire la médiatrice du segment `à¨a¨bù …
--On trace deux arcs de cercle de centres A et B, de même rayon (plus grand que la moitié de AB).
--La médiatrice de `à¨a¨bù est la droite qui passe par ces deux points.

3) Axe de symétrie d’un angle

Définition:
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriété:
Un angle a un axe de symétrie qui est la bissectrice de cet angle.

Exemple:
À la règle et au compas, construis la bissectrice de l’angle `¤:x¨oy est la demi-droite d’origine O passant par ce point.

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4) Axes de symétrie et figures usuelles

A. Triangle isocèle
Propriété `1:
Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est à la fois la médiatrice de sa base et la bissectrice de son angle principal.
Exemple:
Voir DER en annexe.

B. Triangle équilatéral
Propriété `2:
Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie qui sont à la fois les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles.
Exemple:
Voir DER en annexe.

C. Losange
Propriété `3:
Un losange a deux axes de symétrie qui sont ses diagonales.
Exemple:
Voir DER en annexe.

D. Rectangle
Propriété `4:
Un rectangle a deux axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses côtés.
Exemple:
Voir DER en annexe.

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E. Carré
Propriété `5:
Un carré a quatre axes de symétrie qui sont les médiatrices de ses c ôtés et ses diagonales (un carré est à la fois un losange et un rectangle).
F. Conséquences sur les angles et les diagonales
Propriétés `6:
--Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.
--Dans un triangle équilatéral, tous les angles ont la même mesure (`60´o).

Propriétés `7:
--Dans un losange, les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
--Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.
--Dans un carré, les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur.

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Exercices - Je m’entraine

Axes de symétrie

`9. Avec un quadrillage
Reproduis les figures sur papier quadrillé, puis trace leur(s) axe(s) de symétrie si elles en ont.
Voir DER en annexe.

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Exercice - Je m’entraine

Médiatrices

`17. Voici une figure faite par Noam.
Voir DER en annexe.

Noam explique:
La droite `(d) est la médiatrice de `à¨a¨bù et passe par H. En plus `¨h¨e’’¨h¨c donc `(d) est aussi la médiatrice de `à¨e¨cù.

Que penses-tu du raisonnement de Noam?


`19. On considère la figure ci-dessous.
Voir DER en annexe.

a. Que peux-tu dire de la droite `(¨i¨e) pour le segment `à¨t¨nù? Justifie.
b. Que peux-tu en déduire pour la position des droites `(¨t¨n) et `(¨i¨e)?  Justifie.
c. Reproduis cette figure à partir d'un triangle MNT tel que `¨m¨n’’9 `cm; `¨n¨t’’8 `cm et `¨m¨t’’5,5 `cm.

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Exercice - Je m’entraine

Triangles

`27. Reproduis ces triangles isocèles sur papier quadrillé, puis trace leur axe de symétrie.
Voir DER en annexe.

`28. Sur du papier quadrillé, reproduis les figures ci-dessous.
Voir DER en annexe.

a. Complète chacune d'elles par la symétrie d'axe rouge.
b. Quelle est la nature de chaque figure ainsi complétée ?