Mathématiques `6^e.
Chapitre G `4 - Symétrie axiale

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Cours.

`1) Figures symétriques
Définitions:
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite.
Cette droite est appelée l’axe de symétrie.

Exemple:
Voir DER en annexe
Les figures `1 et `2 se superposent par pliage le long de la droite `(d). Donc elles sont symétriques par rapport à la droite `(d).
On dit également que la figure `2 est le symétrique de la figure `1 dans la symétrie axiale d'axe `(d).

Deux points sont symétriques par rapport à une droite s'ils se superposent par pliage le long de cette droite.
Ici, les points A et M sont symétriques par rapport à la droite `(d).

`2) Symétrique d’un point
Définition: Le symétrique d'un point A par rapport à une droite `(d) est le point M, tel que la droite `(d) soit la médiatrice du segment `à¨a¨mù (c'est-à-dire tel que `(d) soit la perpendiculaire au segment `à¨a¨mù en son milieu).

Remarque: Si un point appartient à une droite, alors son symétrique par rapport à cette droite est le point lui-même.

Exemple:
Construis le point S, symétrique du point P par rapport à la droite `(d).

--Dans un quadrillage
Axe de symétrie horizontal ou vertical
Voir DER en annexe.
-On part du point P vers `(d). On arrive en `3carreaux.
Puis, on reproduit le trajet de `3 carreaux vers la gauche.
-S est le symétrique du point P par rapport à `(d).

Axe de symétrie en diagonale
Voir DER en annexe.
-On part du point P vers `(d). On y arrive en `4 carreaux.
-Puis on descend de `4 carreaux.
-S est le symétrique du point P par rapport à `(d).

Remarque:
On peut également compter les carreaux en diagonale.
Voir DER en annexe.

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--Avec l’équerre et la règle graduée
Voir DER en annexe.
-On construit la perpendiculaire à `(d) passant par le point P.
-On reporte la distance de P à `(d) de l’autre côté de `(d) sur cette perpendiculaire.
-On obtient ainsi le point S tel que `(d) soit la médiatrice de `à¨p¨sù.

--Avec le compas `(1)
Voir DER en annexe.
-On trace un arc de cercle de centre P qui coupe l'axe en deux points.
-De l'autre côté de la droite `(d), on trace deux arcs de cercle de même rayon et de centres les deux points précédents.
-Ces deux arcs se coupent en un point qui est le point S.

--Avec le compas `(2)
Voir DER en annexe.
-On prend deux points distincts quelconques M et N sur la droite `(d).
-On trace deux arcs de cercle de centres les deux points précédents et passant par P.
-Ces deux arcs se coupent en un point qui est le point S.

Remarque:
Cette méthode est plus intéressante que la précédente si on a beaucoup de symétriques de points à construire: il n'y a que deux points sur l'axe de symétrie, et non plus un faisceau d'arcs de cercle qui peut induire en erreur.

`3) Propriétés de la symétrie axiale

Propriété `1
Symétrique d'une droite
Le symétrique d'une droite par rapport à un axe est une droite.
La symétrie axiale conserve l'alignement.

Propriété `2
Symétrique d’un segment
Le symétrique d'un segment par rapport à un axe est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs.

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Remarque: Le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du segment symétrique.

Propriété `3
Symétrique d'un cercle
Le symétrique d'un cercle par rapport à un axe est un cercle de même rayon.
Les centres des cercles sont symétriques par rapport à cet axe.

Exemples:
Voir DER en annexe.
Propriété `4
La symétrie axiale conserve les mesures des angles, les périmètres et les aires.

Propriété `5
Pour construire le symétrique d'une figure complexe, on la décompose en figures usuelles et on construit le symétrique de chacune d'elles.

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Exercices «À toi de jouer!»
`1- Reproduis puis construis le symétrique de chaque figure par rapport à la droite `(d).
Voir DER en annexe.
`2- Trace deux droites sécantes `(d’) et `(d’’), puis place un point A qui n’appartient ni à `(d’), ni à `(d’’). Construis les symétriques `¨a’ et `¨a’’ de A par rapport à `(d’’ ).

`3- Construis un triangle ABC. Construis le point D, Symétrique de B par rapport à `(¨a¨c) .

`4- Trace une droite `(d) et un point F qui n'est pas sur `(d). Trace le cercle de centre F et de rayon `5 `cm. Trace son symétrique par rapport à `(d). Quel est son périmètre ?

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Exercices - Je m’entraine
Dans un quadrillage

`14- Points symétriques
a. Sur cette figure, cite les couples de points qui sont symétriques par rapport à l’axe rouge.
Voir DER en annexe.
b. Écris trois phrases du type: «L’axe rouge est la médiatrice du segment…».
c. Reproduis cette figure et complète-la pour que chaque point ait un symétrique.

`15- Reproduis la figure ci-dessous.
Voir DER en annexe.
a. Place les points T, R et O, symétriques respectifs des points S, E et M par rapport à l’axe rouge.
b. Trace le triangle SEM.
c. Quel est son symétrique par rapport à l’axe rouge? Trace-le.

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`16- Reproduis et construis le symétrique des cercles ci-dessous par rapport à ta droite `(d).
Voir DER en annexe.

`19- Reproduis puis trace le symétrique de chaque figure par rapport à la droite `(d).
Voir DER en annexe.