Mathématiques `6^e. Chapitre G `6 - Espace Cours. Page `175. `1) Généralités sur les solides Règle: La perspective cavalière est une technique de dessin qui permet de représenter un solide sur une surface plane. En perspective cavalière: --les figures face à l'observateur sont dessinées en vraie grandeur sans déformation; --les droites parallèles en réalités le sont sur le dessin; --les arêtes cachées sont dessinées en pointillés. Voir DER en annexe. Exemple: --Cette figure représente le parallélépipède rectangle ABRINEUF en perspective cavalière. --Le point R est un sommet. --Le segment à¨r¨iù est une arête. --Le rectangle NAIF délimite une face. Définition: Un patron de solide est une figure plane représentant ses faces en grandeur réelle qui, après pliage et sans découpage, permet de fabriquer ce solide. Parfois, il existe plusieurs patrons différents permettant de le construire. `2) Des solides polyèdres A- Polyèdre Définition: Un polyèdre est un solide dont les faces sont des polygones. Exemples: Quelques polyèdres Voir DER en annexe. Page `176. B- Carte d'identité de certains polyèdres Voir DER en annexe. Remarques: --Un prisme droit a deux bases superposables de forme polygonales, et ses autres faces sont des rectangles. --Une pyramide a une base de forme polygonale, et ses autres faces sont des triangles. --Il existe beaucoup d'autres patrons du pavé droit. Pour le cube, il existe `11 patrons différents. Exemple: Représente quatre patrons différents du pavé droit dessiné ci-contre en perspective cavalière. Voir DER en annexe. --Les faces de la même couleur sont superposables et représentent, pour le pavé droit, des faces parallèles. Page `177. `3) Des solides non polyèdres Voir DER en annexe. Remarques: --Le cylindre de révolution a pour bases deux disques superposables. --Le cône de révolution a pour base un disque. --Il n'existe pas de patron pour la boule. Page `178. Exercices - Je m'entraine Vocabulaire `5. Pour chaque polyèdre ci-dessous, donne le nombre de sommets, d'arêtes et faces. Voir DER en annexe. `6. On considère ces solides. Voir DER en annexe. a. Parmi ces solides, quels sont les polyèdres? b. Parmi ces solides, quelles sont les pyramides? c. Donne la nature des solides qui ne sont pas des pyramides. `7. Voici la représentation en perspective cavalière d'un parallélépipède rectangle ABCDEFGH. Voir DER en annexe. a. Donne deux autres noms possibles pour ce pavé droit. b. Combien a-t-il de sommets? Nomme-les. c. Donne le nombre de faces, puis nomme-les. d. Combien d'arêtes a-t-il? Nomme-les. e. Nomme les arêtes qui ne sont pas visibles. `8. Soit le cube POINTUES ci-contre. Voir DER en annexe. a. Donne le nombre de sommets, le nombre d'arêtes et le nombre de faces de ce cube. b. Quelle est la nature de la face PNST? c. Quelle est la nature de la face POIN ? d. Quelles sont les faces cachées du cube ? `9. Soit le cube POINTUES de l'exercice précédent. a. Nomme la (ou les) face(s) parallèle(s) à la face POIN. b. Nomme la (ou les) face(s) perpendiculaire(s) à la face PNST. c. Cite toutes les arêtes de même longueur que l'arête à¨p¨où. d. Combien d'arêtes ne sont pas visibles ? Nomme-les. e. Si on pose ce cube sur la face NIES, les faces POIN et OUEI étant visibles, quelles sont alors les faces cachées de ce cube? Page `179. Exercices - Je m'entraine Représentation des solides `11. Vrai ou faux On considère le pavé droit de l'exercice `7. Réponds par Vrai ou Faux. P.`1. Les faces ABCD et EFGH sont parallèles. P.`2. La face ABCD est un carré. P.`3. L'angle `¤:¨g¨h¨d mesure `120´o environ. P.`4. ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. P.`5. L'angle `¤:¨b¨e¨f mesure moins de `90´o. P.`6. L'angle `¤:¨a¨b¨f est un angle droit. P.`7. Les arêtes `à¨a¨bù et `à¨b¨fù sont parallèles. P.`8. Les arêtes `à¨e¨hù et `à¨b¨fù sont sécantes. P.`9. Les arêtes `à¨c¨gù et `à¨f¨gù ne sont pas perpendiculaires. `12. Un cube a une arête de `5 `cm. a. À main levée, dessine ce cube en perspective cavalière, puis code ton dessin. b. Construis, sur papier quadrillé, une représentation en perspective cavalière de ce cube. `13. Un parallélépipède rectangle a pour dimensions `2 `cm; `4,5 `cm et `5,5 `cm. a. Réalise, à main levée, une représentation possible de ce pavé droit, en perspective cavalière, puis code ton dessin. b. Construis, à l'aide des instruments de géométrie, une représentation en perspective cavalière de ce pavé droit. `14. Soit le pavé droit ABRICOTS tel que `¨a¨b"3 `cm, `¨b¨r"4 `cm et `¨a¨c"6 `cm. a. Réalise, à main levée, une représentation en perspective cavalière de ce pavé droit. Code les arêtes de même longueur sur ton dessin. b. Recopie et complète le tableau. Arêtes `à¨i¨rù Longueur (en cm): Arêtes `à¨b¨où Longueur (en cm): Arêtes `à¨c¨sù Longueur (en cm): Arêtes `à¨r¨tù: Longueur (en cm): Arêtes `à¨c¨où Longueur (en cm): Arêtes `à¨o¨tù Longueur (en cm): c. Trace en vraie grandeur les faces ABRI et ABOC. d. En utilisant la figure précédente, donne une valeur approchée de la longueur BC. `15. On empile deux cubes identiques, d'arête `2 `cm. a. Décris le solide obtenu et donne ses dimensions. b. Représente ce solide en perspective cavalière, sur papier quadrillé. `16. Reproduis puis complète les dessins suivants pour obtenir des représentations en perspective cavalière de pavés droits. Voir DER en annexe. `17. Une araignée ne marche que sur les arêtes de ce pavé droit. Elle part du sommet F pour aller au sommet E. Voir DER en annexe. a. Quel est le chemin le plus court ? Y a-t-il plusieurs possibilités? Si oui, donne-les toutes. b. Calcule la longueur de ce chemin. Page `180. Exercices - Je m'entraine Représentations des solides `19. On a représenté ci-contre un cube d'arête `4,5 `cm. Voir DER en annexe. a. Quelle est, dans la réalité, la nature du triangle BFG? Justifie. b. Quelle est, dans la réalité la nature du triangle GBD? Justifie. c. Construis ces deux triangles en vraie grandeur. `20. ABRINEUF est un pavé droit, représenté ci-dessous en perspective cavalière. On donne `¨b¨r"7 `cm et `¨a¨n"¨a¨b"4 `cm. Voir DER en annexe. a. Dans la réalité, quelle est la nature... --du triangle ABI? --du triangle BIN? Justifie tes réponses. b. Construis ces deux triangles en vraie grandeur. `21. On considère e parallélépipède rectangle de l'exercice précédent. a. Nomme deux arêtes qui sont perpendiculaires dans la réalité, mais pas sur le dessin. b. Peux-tu répondre à la même question en remplaçant le mot "perpendiculaires" par "parallèle"? `22. On considère le parallélépipède rectangle de l'exercice 20. a. Que peux-tu dire... --des droites `(¨a¨n) et `(¨a¨i)? --des droites `(¨a¨b) et `(¨a¨i)? b. Que penses-tu alors de l'affirmation: «Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.»? Exercices Patrons `23. Quels dessins ci-dessous représentent un patron de cube? Voir DER en annexe. `24. Quels dessins ci-dessous représentent un patron de pavé droit? Justifie. Voir DER en annexe. `25. Associe ce pavé droit à son patron. Justifie. Voir DER en annexe. Page `211. Exercices - J'approfondis Du rectangle au carré `61. Reproduis chaque figure en taille réelle. a. Calcule le périmètre de chaque figure. b. Calcule l'aire de chaque figure. Voir DER en annexe.