Sésamaths

Exercice `1 p `50
Écris chaque produit sous la forme `'a^n où `a est un nombre et `n un entier relatif.
a) `'5^3*5^7"
b) `'(-7)*(-7)^5"
c) `'3^8*3^10"
d) `'(9/5)^-4*(9/5)"
e) `'4^-3*4^-7"
f) `'(@3)^4*@3"
g) `'(@7)^-5*(@7)^9"
h) `'(7/3)^5*(7/3)^9"

Exercice `2 p `50
Écris chaque quotient sous la forme `'a^n où `a est un nombre et `n un entier relatif.
a) `'7^13/7^5"
b) `'3^38/3^15"
c) `'12^28/12^34"
d) `'(-6)^12/(-6)^15"
e) `'(@6)^10/(@6)^9"
f) `'-4,5/(-4,5)^-5"
g) `'9^-2/9^7"
h) `'1,2^-5/1,2^-3"

Exercice `3 p `50
Écris chaque nombre sous la forme `'a^n où `a est un nombre et `n un entier relatif.
a) `'(7^3)^5"
b) `'(5^2)^-4"
c) `'((3/8)^-1)^10"
d) `'((@5)^7)^-2"
e) `'((@11)^2)^3"
f) `'((9/7)^-2)^-1"

Exercice `4 p `50
Même énoncé
a) `'(3^2)^-2*3^3"
b) `'((-7)^3)^2*(-7)^-4"
c) `'(5^3)^-1*(5^3)^2"
d) `'((7/4)^5)^3*((7/4)^-2)^4"

Exercice `5 p `50
Même énoncé
a) `'5^2*3^2"
b) `'3,5^-3*4^-3"
c) `'2^4*7^4"
d) `'(-7)^6*(-3)^6"
e) `'(3/4)^-2*(2/9)^-2"

Exercice `6 p `50
Écris chaque quotient sous la forme d'une fraction irréductible.
a) `'15^2/9^2"
b) `'14^3/21^3"
c) `'25^-2/10^-2"
d) `'(-8)^5/16^5"

Exercice `7 p `50
Écris les nombres suivants sous la forme `'a^n (où `a est un nombre et `n un entier relatif) puis donne une écriture décimale.
a) `'5^-7*2^-7"
b) `'(2^4)^-1"
c) `'7^-6*7^8"
d) `'4^-3*25^-3"
e) `'((@8)^2)^-1"
f) `'((-1,5)^3)^4*((-2)^6)^2"

Exercice `8 p `50
Même énoncé
a) `'2^18/2^14"
b) `'2^3/5^3"
c) `'(12/25)^2*(5/6)^2"
d) `'25^-2/35^-2"

Exercice `9 p `50
Complète chaque égalité.
a) `'3^10*3^…"3^5
b) `'7^…*7^8"7^11
c) `'(5^2)^…"5^8
d) `'5^…/5^28"5^-13
e) `'6^-8*6^…*6"6^10
f) `'3^…*10^…"30^7
g) `'((-2)^…)^3"(-2)^12
h) `'7^…/14^…"(1/2)^-3

Exercice `10 p `50
Soit l'expression `'¨a"(x!7)^3*(x!4)^3
Calcule astucieusement l'expression `'¨a pour `'x"-2

Exercice `11 p `51
Calcule sans calculatrice.
a) `'59*2^-2*5^-2"
b) `'5^2*0,742*2^2"
c) `'2^3*12,2*5^3"
d) `'2^-3*5^-3*61"

Exercice `14 p `51
Voici la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres `1080 et `288:
`'1080"2^3*3^3*5 et `'288"2^5*3^2
a) `5 est-il un diviseur commun à `1080 et `288? Justifie.
b) `3 est-il un diviseur commun à `1080 et `288? Justifie.
c) Même question avec `'3^2? Et `'3^3? Justifie.
d) Trouve un nombre entier `n, le plus grand possible, tel que `'2^n divise à la fois `1080 et `288.
e) Existe-t-il un autre facteur premier, différent de `2 et de `3, qui divise à la fois `288 et `1080? Justifie.
f) Montre que `'¨p¨c¨g¨d `'(288;1080)"2^3*3^2

Exercice `15 p `51
Détermination de `'¨p¨c¨g¨d
a) Écris la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres suivants.
`'4116"
`'2205"
`'7350"
b) Déduis-en les `'¨p¨c¨g¨d suivants.
`'¨p¨c¨g¨d `'(4116;2205)
`'¨p¨c¨g¨d `'(2205;7350)

Exercice `1 p `52
Écris les expressions suivantes sous la forme `'a^m*b^n où `a, `b, `m et `n sont des entiers relatifs.
`'¨a"„2^5*4^5*11^-3;/„8^-3*11^5;
`'¨b"„12^4*5^7;/„4^-6*5^3*3^-6;
`'¨c"„6^-3*(-5)^7*4^7;/„10^5*2^5*(-6)^5;
`'¨d"„2^4*3^4*6^4*5^4;/„4^-3*3^-3*15^9;

Exercice `2 p `52
Écris les expressions suivantes sous la forme `'a^m*b^n où `a, `b, `m et `n sont des entiers relatifs.
`'¨a"„6^-8*9^6;/„9^5*(6^3)^5;
`'¨b"„2^-3*(8^7)^8;/„8^-35*(2^4)^-6;
`'¨c"„4^5*7^-1,/„16^4*7^3;
`'¨d"„9^-3*8^4;/„3^4*8^-4;

Exercice `3 p `52
Donne l'écriture scientifique puis l'écriture décimale des expressions suivantes.
a) `'„8*10^4*7*10^2;/„14*10^-3;
b) `'„2*10^5*9*10^-4;/„15*10^5;
c) `'„4*10^-6*3*10^-2;/„6*10^-5*5*10^2;

Exercice `4 p `52
Calcule astucieusement chaque expression. Tu donneras le résultat sous forme décimale.
`'¨a"„14^3*(-9)^2;/„7^3*3^4;
`'¨b"„(-5)^3*0,3^2*2^3;/„2*10^4*0,15;

Exercice `8 p `53
Une somme de puissance de `2
a) Vérifie, à l'aide de calculs, que les égalités suivantes sont vraies.
`'2^0"2^1-2^0
`'2^1"2^2-2^1
`'2^2"2^3
b) En utilisant les propriétés sur les puissances, montre l'égalité `'2^n"2^„n!1;-2^n où `n est un nombre entier naturel. (Pense à écrire `'2^„n!1; comme le produit de deux puissances de `2.
c) En utilisant l'égalité prouvée en b), vérifie `'2^0!2^1!2^2!2^3"15
d) En t'inspirant du raisonnement de la question c) et sans utiliser de calculatrice, trouve la valeur exacte des sommes suivantes.
`'¨a"1!2!4!8!16!...!2^300
`'¨b"1!2!4!8!16!...!2^1000
e) Peux-tu trouver un ordre de grandeur de `'¨a et `'¨b en utilisant la calculatrice? Si oui, donne-le, si non explique pourquoi.
f) Exprime à l'aide d'une somme ayant le moins de termes possible l'expression `'¨s?n suivante:
`'¨s?n"1!2!4!8!16!...!2^n