Prisme 3ème, Chapitre 2: calcul littéral.

Page 27.
12) Développer les expressions suivantes:
a. `'4(-2x!3)
b. `'-5(7-x)
c. `'x(3x-8)
d. `'6x(9!5x).

13) Supprimer les parenthèses puis réduire les expressions suivantes:
a. `'7x-(2x-5)
b. `'3x^2-(4!9x^2)-8
c. `'-6-(-8x!1)!5x
d. `'4x-(7!3x-6y)
e. `'2x!4(x!3)
f. `'5x^2!3x(x-2).

14) Développer, puis réduire les expressions suivantes:
a. `'(3x!4)(5!2x)
b. `'(-2x!3)(3x-7)
c. `'(-5x-4)(6x-3)
d. `'(x-„5/3;)(6x-9)

`'16) Factoriser les expressions suivantes:
a. `'7x-7y
b. `'3x!6y
c. `'x^2!x
d. `'4x!4x^2
e. `'-8x!8
f. `'6x^2-3x

Page 28.
Activité 2.
Je développe `'(a!b)^2
1. Lorsque `'a et `'b sont des nombres positifs.
Dans le carré de l'annexe 1, `'a et `'b sont deux nombres positifs non nuls.
a. Exprimer l'aire des carrés `'¨e¨i¨j¨l et `'¨j¨m¨g¨k et des rectangles `'¨i¨f¨m¨j et `'¨l¨j¨k¨h en fonction de `'a et de `'b.
b. Exprimer l'aire du carré `'¨e¨f¨g¨h de deux façons différentes.
c. En déduire l'expression développée et réduite de `'(a!b)^2.
2. Lorsque `'a et `'b sont des nombres quelconques.
Soient `'a et `'b deux nombres relatifs quelconques.
a. Écrire `'(a!b)^2 sous la forme d'un produit de deux facteurs.
b. Développer le produit obtenu.
En déduire l'expression développée et réduite de `'(a!b)^2.
Remarque: "L'égalité obtenue est vraie quels que soient les nombres relatifs `'a et `'b. On dit que c'est une identité".
3. J'applique.
Développer et réduire les produits suivants:
a. `'(x!3)^2
b. `'(x!7)^2
c. `'(2x!5)^2
d. `'(4!3x)^2
e. `'(5x!2y)^2

Activité 3.
1. Je développe `'(a-b)^2.
Lorsque `'a et `'b sont des nombres positifs.
Sur la figure de l'annexe 2, `'¨a¨b¨c¨d, `'¨e¨b¨h¨f et `'¨g¨f¨i¨d sont des carrés et `'a et `'b sont deux nombres positifs non nuls tels que `'a´@b.
a. Exprimer l'aire du carré `¨g¨f¨i¨d en fonction de `'a-b.
b. Exprimer l'aire de `'¨a¨b¨c¨d, `'¨a¨b¨h¨g, `'¨e¨b¨c¨i et `'¨e¨b¨h¨f en fonction de `'a et `'b.
c. Déduire des questions `'a et `'b l'expression développée et réduite de `'(a-b)^2.
2. Lorsque `'a et `'b sont des nombres quelconques.
Soient `'a et `'b deux nombres relatifs quelconques.
a. Écrire `'(a-b)^2 sous la forme d'un produit de deux facteurs.
b. Développer le produit obtenu. En déduire l'expression développée et réduite de `'(a-b)^2.
3. J'applique.
Développer et réduire les produits suivants:
a. `'(x-2)^2
b. `'(x-6)^2
c. `'(3x-5)^2
d. `'(5-6x)^2
e. `'(2x-3y)^2

Page 29.
Activité 4. Je développe le produit `'(a!b)(a-b).
1. Lorsque `'a et `'b sont des nombres positifs.
a. Exprimer l'aire de la figure hachurée de l'annexe `3 en fonction des deux nombres positifs non nuls `'a et `'b (avec `'b´2a).
b. En découpant la figure hachurée comme indiqué, on obtient deux trapèzes identique que l'on peut assembler de façon à obtenir un rectangle. Exprimer en fonction de `'a et `'b la longueur et la largeur du rectangle, puis son aire.
c. Déduire des questions `'a et `'b l'expression développée et réduite de `'(a!b)(a-b).
2. Lorsque `'a et `'b sont des nombres quelconques.
Soient `'a et `'b deux nombres relatifs quelconques. Démontrer que le produit de la somme `'a!b par la différence `'a-b est égal à la différence des carrés des nombres `'a et `'b.
3. J'applique.
a. `'(x!3)(x-3)
b. `'(x-7)(x!7)
c. `'(3x!2)(3x-2)
d.`'(x!„1/2;)(x-„1/2)
e. `'(2x!y)(2x-y)
f. `'(5!3x)(5-3x).

Activité 5.
Je factorise avec des identités remarquables.
1. a. Compléter les égalités suivantes:
Remarque: "Tu dois utiliser l'identité remarquable: `'(a!b)^2"a^2!2ab!b^2".
`'x^2!8x!16"x^2!2*...*x!..^2"(x!..)^2
`'4x^2!12x!9"(...)^2!2*...*...!..^2"(...!..)^2
b. Factoriser, si possible, chaque expression:
`'x^2!12x!36
`'9x^2!30x!25
`'4x^2!14x!49.

2. a. Recopier et compléter les égalités suivantes:
Remarque: "Tu dois utiliser l'identité remarquable: `'(a-b)^2"a^2-2ab!b^2".
`'x^2-2x!1"x^2-2*...*x!..^2"(x-...)^2
`'9x^2-24x!16"(...)^2-2*...*...!..^2"(...-...)^2
b. Factoriser, si possible, chaque expression:
`'x^2-6x!9
`'4x^2-10x!25
`'81-36x!4x^2

3. a. Recopier et compléter les égalités suivantes:
Remarque: "Tu dois utiliser l'identité remarquable: `'(a!b)(a-b)"a^2-b^2".
`'x^2-25"x^2-...^2"(...!..)(...-...)
`'4x^2-9"(...)^2-...^2"(...!..)(...-...)
b. Factoriser les expressions suivantes:
`'x^2-16
`'x^2-1
`'9x^2-49
`'25-16x^2

Page 36.
Je m'entraîne
Distributivité.
42. Supprimer les parenthèses de chaque expression puis la réduire.
a. `'5x!1-(2-3x)!(2x-4)
b. `'-2!(3x^2-x)-4x^2-(-2x!5)
c. `'6x^2-(x-7!4x^2)!(-8x!3).

Pour les exercices 44 à 46, développer puis réduire les expressions données.
44. a. `'7-(8x!3)!2x(5x-4)-3x^2
b. `'6x(2x-3)-(x!2)!4(5-2x^2)
c. `'-4x(2!3x)!(7x^2-3x!1)!3(-2x!5)

45. a. `'(x!2)(3x!4)
b. `'(-2x!5)(4x-3)
c. `'(5x-2)(3x-5)
d. `'(7x-4)(-4x!9)
e. `'(x!„1/3;)(3x!2)
f. `'(„1/3;x-1)(„1/3;x!2)

46. a. `'4(5x-3)!(2x-1)(x!4)
b. `'3x-x(4x!1)!(-x!2)(5-4x)
c. `'(2x!3)(-2x!7)-(3x-4)(2!5x)

50. On considère l'expression: `'¨a"(x!3)(x-2)-x(x!1).
1. Développer et réduire `'¨a.
2. En déduire, sans utiliser de calculatrice et sans poser d'opérations, la valeur de:
`'2013*2008-2010*2011.

53. Factoriser les expressions a. à i. données.
a. `'5x!15
b. `'14x!7
c. `'42x!35
d. `'9x^2-6
e. `'-8x^2!12x
f. `'28x!20x^2
g. `'10x^3!15x^2
h. `'7x^3!42x^2!14x
i. `'9x^2!9x.

54. Factoriser chaque expression par `'(5-x), puis réduire.
a. `'(-3!4x)(5-x)-(2-7x)(5-x)
b. `'(5-x)(3x-2)!(4x!7)(5-x)
c. `'(5-x)^2!3x(5-x)
d. `'5-x!(5-x)^2

55. Dans chaque cas, recopier l'expression et indiquer le facteur commun, puis factoriser et réduire.
a. `'x(5x-1)!x(2x!3)
b. `'5x(2!x)-(3!x)(2!x)
c. `'(x-4)(x!7)!(x-4)(2x-5)

57. Factoriser chaque expression.
`'¨a"(3x-4)(-x!9)!(7x!2)(3x-4)
`'¨b"(4-x)(3x!5)-(4-x)(-x-2)
`'¨c"(4x-1)^2-(x!6)(4x-1)
`'¨d"3(x-5)(2x!1)!(6x-7)(2x!1).

Identités remarquables: développement.
Pour les exercices 58 à 60, compléter les égalités suivantes en utilisant une identité remarquable.
58. a. `'(x!3)^2"...^2!2*...*...!...^2
b. `'(5!x)^2"...^!2*...*...!...^2
c. `'(3x!4)^2"(...)^2!2*...*...!...^2

59. a. `'(x-7)^2"...^2-2*...*...!...^2
b. `'(2x-3)^2"(...)^2-2*...*...!...^2"...
c. `'(5-4x)^2"...^2-2*...*...!(...)^2"...

60. a. `'(x!3)(x-3)"...^2-...^2"...
b. `'(3x!5)(3x-5)"(...)^2-...^2"...
c. `'(2!7x)(2-7x)"...^2-(...)^2"...
d. `'(2x-9)(2x!9)"(...)^2-...^2"...

Pour les exercices 63, 64 et 66, développer les expressions données en utilisant une identité remarquable.
63. a. `'(8x!3)^2
b. `'(5!7x)^2
c. `'(x!„1/2;)^2
d. `'(„1/2;x!1)^2
e. `'(x!„2/3;)^2
f. `'(2x!„1/3;)^2

64 . a. `'(x-2)^2
b. `'(5-x)^2
c. `'(6x-1)^2
d. `'(4x-3)^2
e. `'(3x-7)^2
f. `'(10-3x)^2

66. a. `'(t!6)(t-6)
b. `'(5-2t)(5!2t)
c. `'(3t!10)(3t-10)
d. `'(t^2!1)(t^2-1).

68. Suivre un programme.
On considère le programme de calcul ci-dessous:
--Choisir un nombre `'x.
--Le multiplier par 3.
--Retrancher 5 au produit obtenu.
--Élever au carré le nombre obtenu.
--Noter le résultat.
1. On appelle `'¨r le résultat du programme.
a. Exprimer `'¨r en fonction de `'x.
b. Développer `'¨r.
2. Calculer la valeur de `'¨r pour `'x"-2, puis pour `'x"5/3.

69. Développer, puis réduire les expressions suivantes:
`'¨a"(3!x)(3-x)-(2x!1)^2
`'¨b"(3x-4)^2!(2x!5)(2x-5).

70. Calcul mental.
Calculer les expressions suivantes sans utiliser de calculatrice, ni poser d'opérations.
1. a. `'(30!1)^2. b. `'51^2. c. `'102^2.
2. a. `'(50-1)^2. b. `'69^2. c. `'98^2.
3. a. `'51*49. b. `'103*97. c. `'20,1*19,9.

Page 38.
71. 1. Développer et réduire l'expression `'¨a"(a!3)^2-(a-3)^2.
2. En déduire, sans utiliser de calculatrice et sans poser d'opérations, la valeur de:
a. `'1003^2-997^2
b. `'(„10^„-5;/12;!3)^2-(„10^„-5;/12;-3)^2.

Page 38.
Identités remarquables: factorisation.
74. Compléter les égalités suivantes:
a. `'x^2!4x!49"x^2!2*...*x!...^2"(x!...)^2
b. `'x^2-10x!25"x^2-2*...*x!...^2"(x-...)^2
c. `'x^2-16"x^2-...^2"(x!...)(x-...)
d. `'9x^2-64y^2"(...)^2-(...)^2"(...!...)(...-...)

Pour les exercices 75 à 85, factoriser, si possible, les expressions données.
75. a. `'4x^2!4x!1
b. `'4x^2!6x!9
c. `'9x^2!24x!16
d. `'25x^2!40x!16

77. a. `'„1/4;x^2!3x!9
b. `'x^2!„1/2;x!„1/16;
c. `'x^2!„1/4;x!„1/4;
d. `'„1/25;x^2!2x!25

79. a. `'16x^2-8x!1
b. `'4x^2-6x!1
c. `'81x^2-36x!4
d. `'25x^2-30x!9

83. a. `'x^2-64
b. `'81-x^2
c. `'4x^2-9
d. `'25x^2-36
e. `'1-16x^2
f. `'49x^2-4

85. a. `'(x!2)^2-9
b. `'(2x!1)^2-4
c. `'25-(5x-4)^2
d. `'(x!1)^2-4x^2
e. `'x^2-(-2x!5)^2
f. `'9x^2-(2x-3)^2

89. Soit `'¨c"x^2-25!(3x!1)(x-5).
1. Factoriser `'x^2-25.
2. En déduire une factorisation de `'¨c.

90. Soit l'expression `'¨a"(3x!2)^2-(x!1)^2.
1. Développer et réduire `'¨a.
2. Factoriser `'¨a.
3. Calculer le plus rapidement possible la valeur de `'¨a pour `'x"0, puis pour `'x"-„3/4;.

Page 39.
93. On donne le programme de calcul suivant:
--Choisir un nombre.
--Ajouter 1.
--Calculer le carré du résultat obtenu.
--Soustraire le carré du nombre de départ.
--Soustraire 1.
1. a. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 10 et montrer qu'on obtient 20.
b. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est `'-3 et montrer qu'on obtient `'-6.
c. Effectuer ce programme lorsque le nombre choisi est 1,5.
2. Quelle conjecture peut-on faire à propos du résultat fourni par ce programme de calcul?
Démontrer cette conjecture.

97. Sur la figure en annexe 4, `'¨a¨b¨c¨d est un carré et `'¨a¨b¨e¨f est un rectangle.
On a: `'¨a¨b"¨b¨c"2x!1 et `'¨a¨f"x!3, où `'x désigne un nombre supérieur à 2. L'unité de longueur est le cm.
1. Étude d'un cas particulier: `'x"3.
a. Calculer `'¨a¨b et `'¨a¨f.
b. Calculer l'aire du rectangle `'¨f¨e¨c¨d.
2. Étude du cas général.
a. Exprimer la longueur `'¨f¨d en fonction de `'x.
b. En déduire que l'aire de `'¨f¨e¨c¨d est égale à `'(2x!1)(x-2).
c. Exprimer en fonction de `'x, les aires du carré `'¨a¨b¨c¨d et `'¨i du rectangle `'¨a¨b¨e¨f.
d. En déduire que l'aire du rectangle `'¨f¨e¨c¨d est: `'(2x!1)^2-(2x!1)(x!3).
e. Les deux aires trouvées aux questions `'b et `'d sont donc égales et on a donc:
`'(2x!1)^2-(2x!1)(x!3)"(2x!1)(x-2).
Cette égalité traduit-elle un développement ou une factorisation?

Page 41.
J'approfondis.
112. On considère les deux expressions suivantes:
`'¨a"(x-5)(6x!14)!(x-5)^2 et `'¨b(4x!2)^2-(3x!7)^2
1. a. Calculer `'¨a puis `'¨b pour `'x"5.
b. Peut-on en conclure que `'¨a"¨b?
2. Démontrer que: `'¨a"¨b.