Mathématiques Phare `6ème
Chapitre `2
Pages `29 à `44

Notes du transcripteur
`1. Les symboles suivants sont utilisés dans cet ouvrage :
é`; é>' indicateurs de début et de fin de note du transcripteur
éó indicateur d'appel de note
`2. Les figures qui sont adaptées seront rassemblées dans un livret dont le numéro de page servira de référence dans le texte en braille. Pour celles qui ne sont pas décrites, faire appel à un lecteur si besoin.
`3. Deux personnages accompagnent le lecteur au fil du livre : il s'agit d'un garçon, Teihotu, et d'une fille, Maréva. Leurs interventions seront placées entre guillemets.

Page `29
Chapitre `2: Comparaison des nombre décimaux
Revoir
la comparaison des nombres décimaux; 
les encadrements d'un nombre.

Découvrir
--la notion de demi-droite graduée;
--l'abscisse d’un point;
--des valeurs approchés d’un nombre.

Socle commun
SC`1 Repérer un nombre sur une demi-droite graduée.
SC`2 Comparer deux nombres décimaux et ranger une liste de nombres.
SC`3 Encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux autres.

Photographie non adaptée du mont Éverest
Maréva dit: "L'Éverest est le sommet le plus haut de la chaîne de l'Himalaya."

Le tableau ci-dessous donne le nom et l'altitude du plus haut sommet des chaînes de montagnes de chaque continent.
Tableau inversé pour le braille
Items classés dans l'ordre suivant: A: Continent; B: Nom du sommet; C: Altitude
A: Afrique; B: Kilimandjaro; C: `5'894 m
A: Amérique; B: Aconcagua; C: `6'962 m
A: Antarctique; B: Mont Vinson; C: `5'140 m
A: Asie; B: Éverest; C: `8'848 m
A: Europe; B: Elbrouz; C: `5'633 m
A: Océanie; B: Pyramide de Carstensz; C: `4'884 m
Ranger ces sommets dans l'ordre décroissant de leur altitude.

Page 30
Activités
`1. J'utilise une frise chronologique
Voir frise adaptée page `1 du livret de figure

`1) a) Lire sur la frise ci-jointe la date de chacun des événements suivants:
--la première liaison postale entre la France et l'Amérique du Sud, effectuée par l'aviateur français Jean Mermoz ;
--le début de la guerre du Golfe ;
--la création du drapeau européen.
b) Peut-on lire précisément la date des jeux Olympiques de Londres?

`2) Reproduire sur papier à petits carreaux la frise ci-jointe. Placer ensuite les événements suivants:
--l'isolement du Radium (élément chimique) par la physicienne française Marie Curie en `1910;
--l'adoption de la Convention européenne des droits de l'Homme en `1950;
--l'adoption de la fête nationale française en `1880;
--l'exposition universelle de Milan en 2015;
--les premiers pas de l'Homme sur la Lune en `1969.

Remarque: "Pour le dernier événement, j'ai mesuré."
`2. Je découvre l'abscisse d'un point
`1) Tracer une demi-droite d'origine un point A.
`2) Choisir une unité de longueur en prenant une ouverture de compas.
Puis, à partir du point A, reporter sur la demi-droite l'unité de longueur choisie. On obtient ainsi le point B.
Maréva dit: "J'ai choisi une ouverture ni trop grande, ni trop petite."
`3) a) Le point A étant l'origine de la demi-droite, on lui associe le nombre `0.
Écrire `0 sous le point A.
On dit que le nombre `0 est l'abscisse du point A.
b) Le point B se situe à une unité de longueur du point A. On lui associe le nombre `1.
Écrire `1 sous le point B.
On dit que le nombre `1 est l'abscisse du point B.
`4) a) Reporter sur la demi-droite la même unité de longueur à partir du point B.
On obtient le point C distinct du point A.
b) À combien d'unités du point A se trouve le point C?
Quelle est alors l'abscisse du point C?
c) Construire le point D d'abscisse 5.

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`3. Je compare des nombres décimaux (Je revois)
`1) Comparer `5,7 et `12,3. Expliquer la réponse.
`2) Quatre élèves ont comparé les nombres `3,7 et `3,18 qui ont la même partie entière. Voici leur copie:
--Fanny: `'7´ê18 donc `'3,7´ê3,18.
--Amel: `'3,7=3,70 donc `3,7 se lit aussi `3 unités et `70 centièmes;
`3,18 se lit `3 unités et `18 centièmes.
`'70´@18 donc `3,7´@3,18
--Bastien: Le chiffre des dixièmes de `3,7 est `7.
Le chiffre des dixièmes de `3,18 est `1.
`'7´@1 donc `'3,7´@3,18
--Kevin: Voir figure `1 adapté page `2
`3,18 se situe avant `3,7 donc `'3,18´ê3,7

a) Quel élève a comparé les chiffres des dixièmes? Sa réponse est-elle juste?
b) Quelle est la méthode utilisée par Amel? Sa réponse est-elle juste?
c) Lequel des quatre élèves obtient une réponse fausse? Expliquer son erreur. 
d) Quelle méthode utilise le dernier élève pour comparer `3,7 et `3,18?
4. J'encadre un nombre par des valeurs approchées
On considère la demi-droite graduée ci-jointe figure `2 page `2 et le point ¨a d'abscisse `a.
On ne connaît pas précisément le nombre `a.
Mais on peut dire que `a est compris entre `2 et `3:

Encadrement à l'unité du nombre a:
`'2´êa´ê3
la valeur approchée par défaut à l'unité du nombre `a est `2
la valeur approchée par excès à l'unité du nombre `a est `3

`1) Pour préciser l'abscisse du point ¨a, on «agrandit» la portion de demi-droite graduée comprise entre les points ¨b et ¨c.
a) Quelles sont les abscisses des points ¨e et ¨f?
b) En déduire un encadrement au dixième du nombre `a.
c) Donner une valeur approchée par excès au dixième du nombre `a.

`2) On «agrandit» encore la demi-droite graduée entre les points ¨e et ¨f.
a) Quelles sont les abscisses des points ¨h et ¨i?
b) En déduire un encadrement au centième du nombre `a.
c) Donner une valeur approchée par défaut au centième du nombre `a.

Page `32
Cours
`1. Repérage sur une demi-droite graduée
Définition: On appelle demi-droite graduée une demi-droite sur laquelle on a reporté régulièrement, à partir de l’origine, une unité de longueur choisie.
L’origine de la demi-droite est l’origine de la demi-droite graduée.
Exemple : Voir figure `3 page `3

Propriétés: Sur une demi-droite graduée:
--chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point;
--à chaque nombre correspond un point.
Exemple: Voir figure `4 page `3
L'abscisse du point ¨b est le nombre `1. Le nombre `3 est l'abscisse du point ¨c.
Remarque : L'origine d'une demi-droite graduée a pour abscisse le nombre `0.
`2. Comparaison de deux nombres décimaux
Vocabulaire : Comparer deux nombres revient à déterminer si l'un est inférieur ou supérieur ou égal à l'autre.
Adaptation du tableau:
A: Notation; B: Signification; C: Exemples
A: `'a´êb; B: `a est inférieur à `b; C: `'13´ê45
A: `'a´@b; B: `a est supérieur à `b; C: `'45´@13
A: `"a=b; B: `a est égal à `b; C: `'1,2=12/10

Méthode:
Adaptation du tableau:
a) Les deux nombres décimaux ont des parties entières différentes.
Comparaison : Le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière.
Exemple: `'3,125´ê16,84 car `3´ê16.
b) Les deux nombres décimaux ont des parties entières égales et des chiffres des dixièmes différents.
Comparaison : Le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des dixièmes.
Exemple: `'9,61´ê9,74 car `'6´ê7.
c) Les deux nombres décimaux ont des parties entières égales, des chiffres des dixièmes égaux et des chiffres des centièmes différents.
Comparaison : Le plus petit est celui qui a le plus petit chiffre des centièmes.
Exemple: `'34,90´ê34,99 car `'0´ê9.

Point de repère
Ne pas confondre un point (objet géométrique) avec son abscisse (un nombre).

Page `33 
`3. Rangement des nombres décimaux
Définitions:
Ranger une liste de nombres dans l’ordre croissant, revient à écrire ces nombres du plus petit au plus grand.
Ranger une liste de nombres dans l’ordre décroissant, revient à écrire ces nombres du plus grand au plus petit.
Exemple:
On considère les nombres suivants : `23,8; `21,75; `23,08; `22.
--Rangement dans l'ordre croissant:
`'21,75´ê22´ê23,08´ê23,8.
--Rangement dans l'ordre décroissant:
`'23,8´@23,08´@22´@21,75.

Définition: Encadrer un nombre signifie donner deux valeurs: l'une inférieure à ce nombre et l'autre supérieure à ce nombre.
Exemple: Encadrer le nombre 8,725.
`'8,2´ê8,725´ê9
Les nombres `8,2 et `9 encadrent le nombre `8,725.

Définition: Intercaler un nombre entre deux autres nombres `a et `b signifie trouver un nombre compris entre `a et `b.
Exemple: Intercaler un nombre entre `12,7 et `12,8.
`'12,7´ê12,73´ê12,8
Le nombre `12,73 est intercalé entre `12,7 et `12,8.

Remarque: On dit que: `'8,2´ê8,725´ê9 est un encadrement du nombre `8,725.

`4. Valeurs approchées d'un nombre décimal 
On considère la portion de demi-droite graduée suivante où a désigne un nombre. Voir figure `5 page `3
--Un encadrement à l'unité de `a est: `'12´êa´ê13
`12 est une valeur approchée par défaut à l'unité de `a
`13 est une valeur approchée par excès à l’unité de `a
--Un encadrement au dixième de `a est:
`12,6 est une valeur approchée par défaut au dixième de `a
`12,7 est une valeur approchée par excès au dixième de `a
`'12,6êa´ê12,7
--Un encadrement au centième de `a est:
`12,63 est une valeur approchée par défaut au centième de `a
`12,64 est une valeur approchée par excès au centième de `a
`'12,63´êa´ê12,64

Point de repère
Un encadrement par deux nombres entiers consécutifs est un encadrement à l’unité.

Page `34
Savoir-faire
`1. J'apprends à... Repérer un nombre sur une demi-droite graduée
Énoncé: Voir figure `6 page `4
`1) Quelle est l'abscisse de chacun des points ¨a, ¨b et ¨c?
`2) Reproduire la demi-droite graduée et placer les points ¨d et ¨e d'abscisses respectives `1,75 et `'3+1/4.
Solution:
`1) L’abscisse du point ¨a est `2.
L’abscisse du point ¨b est `0,5.
L’abscisse du point ¨c est `2,25.
Maréva dit: "Cette demi-droite est graduée tous les `0,25."
`2) Voir figures `7 et `8 page `4
Maréva dit: "Respectif signifie dans l’ordre des listes: ¨d et ¨e, `1,75 et `'3+1/4. ¨d correspond à `1,75 et ¨e à `'3+1/4.

J'applique.
SC`1 Pour les exercices `1 à 6, reproduire la portion de demi-droite graduée, puis sous chque graduation, écrire le nombre qui convient.

Exercice `1. Voir page `5
Exercice `2. Voir page `5
Exercice `3. Voir page `5
Exercice `4. Voir page `5
Exercice `5. Voir page `6
Exercice `6. Voir page `6

Exercice `7. SC`1 Voir page `6
Quelle est l'abscisse de chacun des points ¨m, ¨i, ¨e, ¨s et ¨c de la portion de demi-droite graduée ci-dessus?

Exercice `8. SC`1
Voir page `6
Quelle est l'abscisse de chacun des points ¨z, ¨o, ¨u et ¨c de la portion de demi-droite graduée ci-dessus?

Exercice `9. SC`1 
`1) Reproduire la portion de demi-droite graduée ci-jointe. Voir page `7
`2) Placer les points ¨e, ¨f, ¨g et ¨h d'abscisses respectives `16,5; `15,25; `16,75 et `14,75.

Exercice `10. SC`1
`1) Reproduire la portion de demi-droite graduée ci-jointe en prenant comme unité `2 cm. Voir page `7
`2) Quelle est l'abscisse de chacun des points ¨b, ¨s et ¨o?
`3) Placer les points ¨r, ¨r, ¨m et ¨n d'abscisses respectives `11,9; `12,3; `10,6 et `9,8.

Exercice `11. SC`1
`1) Construire une demi-droite graduée d'origine ¨o et d'unité de longueur `2 cm.
`2) Placer les points ¨h, ¨a, ¨t, ¨m et ¨s d'abscisses respectives `4; `2,5; `3,75; `1,25 et `'3-25/100.

Page `35
`2. J'apprends à ... Déterminer une valeur approchée d’un nombre
Énoncé: On considère le nombre `12,185.
`1) a) Donner un encadrement à l'unité de ce nombre.
b) Donner une valeur approchée à l'unité par défaut de `12,185.
`2) a) Donner un encadrement au dixième de `12,185.
b) Donner une valeur approchée au dixième par excès de ce nombre.

Solution:
`1) a) Un encadrement à l’unité de `12,185 est:
`'12´ê12,185´ê13
Maréva: "J’ai encadré `12,185 par deux entiers consécutifs."
b) Une valeur approchée à l’unité par défaut de `12,185 est `12.
`2) a) Un encadrement au dixième de `12,185 est:
`'12,1´ê12,185´ê12,2
b) Une valeur approchée au dixième par excès de `12,185 est `12,2.
Teihotu dit: "Un défaut est un manque et un excès est un dépassement."

J'applique
Exercice `12.
`1) Encadrer par deux entiers consécutifs le nombre `98,753.
`2) En déduire une valeur approchée à l'unité de ce nombre:
a) par défaut;
b) par excès.

Exercice `13.
On considère le nombre `5,892.
`1) a) Donner un encadrement à l'unité de `5,892.
b) Donner une valeur approchée à l'unité par excès de `5,892.
`2) a) Donner un encadrement au dixième de `5,892.
b) Donner une valeur approchée au dixième par défaut de ce nombre.
`3) a) Donner un encadrement au centième de `5,892.
b) Donner une valeur approchée au centième par excès de ce nombre.

Exercice `14.
On considère l'encadrement suivant:
`'6,4´ê6,489´ê6,5
`1) Donner une valeur approchée au dixième de `6,489:
a) par défaut;
b) par excès. 
`2) Donner une valeur approchée à l'unité de `6,489:
a) par défaut;
b) par excès.
`3) Donner un encadrement au centième de `6,489.

Exercice `15.
Recopier et compléter le tableau suivant:
Adaptation du tableau: pour chaque nombre, compléter par:
A: valeur approchée au dixième `1: par défaut, 2: par excès;
B: valeur approchée au centième `1: par défaut, 2: par excès:

`7,124: A: `1: ... 2: ...; B: `1: ...; `2: ...
`145,238: A: `1: ... `2: ...; B: `1: ...; `2: ...
`76,785: A: `1: ... `2: ...; B: `1: ...; `2: ...
`3,692: A: `1: ... `2: ...; B: `1: ...; `2: ...

Pour les exercices `16 et `17, on appelle `n le résultat de la division de `3 par `7.
La calculatrice affiche : `'3:7; `0,428'571'428'6
Exercice `16. SC`3 
Donner un encadrement du nombre `n:
a) à l'unité;
b) au dixième;
c) au centième;
d) au millième.

Exercice `17.
`1) Déterminer une valeur approchée par défaut à l'unité du nombre `n.
`2) Déterminer une valeur approchée par excès au dixième du nombre `n.
`3) Déterminer une valeur approchée par excès au centième du nombre `n.
`4) Déterminer une valeur approchée par défaut au millième du nombre `n.

Page `36
À l'oral
SC`1 Pour les exercices `18 à 23, lire l'abscisse de chacun des points ¨a, ¨b, ¨c, et ¨d.
Exercice `18. Voir page `7
Exercice `19. Voir page 7
Exercice `20. Voir page `8
Exercice `21. Voir page `8
Exercice `22. Voir page `8
Exercice `23. Voir page `8

SC`2 Pour les exercices `24 à `26, dans chaque cas, comparer les deux nombres décimaux.
Exercice `24.
a) `12,5 et `9,87;
b) `158,6 et `158,60;
c) `520,25 et `5'202,5;
d) `123,456 et `132,465.
Exercice `25. 
a) `0,9 et `0,10;
b) `12,34 et `12,3;
c) `80,2 et `80,02;
d) `31,35 et `32,4.
Exercice `26.
a) `'7/10 et `0,7;
b) `'352/100 et `35,2;
c) `0,13 et `'14/10;
d) `'154/1'000 et `0,308.

Exercice `27.
`1) Quel est le plus petit nombre entier supérieur à `15?
`2) Quel est le plus grand nombre entier inférieur à `15?

Exercice `28.
`1) Quel est le plus grand nombre entier de `3 chiffres?
`2) Quel est le plus grand nombre décimal de `3 chiffres?

Exercice `29. 
`1) Quel est le plus petit nombre entier de `4 chiffres différents (sans zéro inutile)?
`2) Quel est le plus petit nombre décimal de `4 chiffres différents?

Exercice 30. SC`2 
Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants:
`7,13; `6,7; `7,2; `6,58; `7,125

Exercice 31. SC`2 
Ranger dans l'ordre décroissant les nombres suivants:
`21,4; `19,98; `21,38; `20; `21,6.

Exercice `32. SC`2 
Encadrer chacun des nombres suivants par deux nombres entiers consécutifs:
a) `15,7;
b) `103,8;
c) `87,1;
d) `0,85;
e) `25,784;
f) `2'009,01;
g) `0,002;
h) `9,99;
i) `90,99.

SC`3 Pour les exercices `33 et `34, intercaler un nombre entre les deux nombres proposés.
Exercice `33.
a) `3 et `4;
b) `7,5 et `8;
c) `12,3 et `12,5;
d) `0,65 et `0,63.
Exercice `34.
a) `28,2 et `28,3;
b) `0,8 et `0,7;
c) `9,1 et `9,15;
d) `8,55 et `8,56.
Teihotu dit: "`'28,2=28,20"

Exercice `35. SC`2
On considère les nombres suivants:
`7,326; `15,251; `0,798; `84,929; `99,999; `9'898,985
Pour chacun des nombres ci-dessus, déterminer:
a) un encadrement à l'unité;
b) un encadrement au dixième;
c) un encadrement au centième.

Pour les exercices `36 et `37, pour chacun des nombres proposés, donner une valeur approchée:
--à l'unité par excès;
--au dixième par défaut;
--au centième par défaut;
--au millième par excès.

Exercice `36.
a) `4,271'56;
b) `12,798'55.

Exercice `37. 
a) `321,987'6;
b) `60,399'9.

Exercice `38.
éé désigne un nombre. On a: `'25,86´êéé´ê25,87
Déterminer une valeur approchée du nombre éé:
a) au centième par défaut;
b) au dixième par excès;
c) à l'unité par excès.

Page `37
Je m'entraîne
Comparer deux nombres décimaux
SC`2 Pour les exercices `39 et `40, dans chaque cas, comparer les nombres proposés.
Exercice `39.
a) `16 et `9;
b) `512 et `521;
c) `5,9 et `7,2;
d) `25 et `24,6.
Exercice `40.
a) `9,2 et `9,18;
b) `68,9 et `68,89;
c) `43,275 et `43,276;
d) `99,99 et `100.

SC`2 Pour les exercices `41 et `42, recopier et compléter par l'un des symboles `'´ê ou `'´@ ou `=.
Remarque: La pointe du symbole est dirigée vers le plus petit nombre.
Exercice `41.
a) `'42,568...42,586;
b) `'65,897...65,89;
c) `'0,987...0,997;
d) `'9,090'9...9,909'0.
Exercice `42. 
a) `'56,460...65,46;
b) `'12,9...12,10;
c) `'801,810...801,81;
d) `'0,99...0,999.

Exercice `43. SC`2 
Pour chaque ligne, comparer les nombres `a et `b.
a: `12 unités `7 dixièmes; b: `12 unités `7 centièmes
a: `80 centièmes; b: `8 dixièmes
a: `3 unités `4 dixièmes ; b: `34 centièmes
a: `4 unités `4 millièmes; b: `414 millièmes

Exercice `44. SC`2 
Dans chaque cas, comparer les deux nombres.
a) `'5/100 et `0,5;
b) `12,3 et `'123/10
c) `'4/10 et `0,3
d) `6,3 et `'63/100

Exercice `45. SC`2 
Dans chaque cas, comparer les deux nombres.
a) `'7+12/10; et `'7+12/100;
b) `9,34 et `'9+34/10;
c) `15,7 et `'15+132/100;
d) `'4,5+50/100; et `5

Exercice `46. SC`2
Recopier et compléter par l'un des symboles `'´ê ou `'´@ ou `=.
a) `'12/100...12/10
b) `'284/10...2'840/100
c) `'4,98...4+98/10;
d) `'810/100...8,01.

Ranger une liste de nombres
Exercice `47. SC`2
`1) Dans chaque cas, comparer les deux nombres:
a) `84,71 et `84,69;
b) `84,64 et `84,73.
`2) Ranger dans l'ordre croissant les quatre nombres de la question `1).

Exercice `48. SC`2
Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants:
`301,13; `311,3; `133,3; `113,1; `331,01.

Exercice `49. SC`2
Ranger les nombres suivants dans l'ordre décroissant:
`8,08; `8,8; `8,88; `0,88; `88,08.

Exercice `50. SC`2
On considère les nombres suivants:
`'4,8/100
`4,8
`'4+„8/100;
`'4-„8/10;
`'408/1000
`1) Donner l'écriture décimale de chaque nombre.
`2) Ranger ces nombres en écriture décimale dans l'ordre croissant.
`3) En déduire le rangement dans l'ordre croissant des nombres écrits sur le tableau.

Exercice `51.
Ranger dans l'ordre croissant ces nombres:
a) «deux cent dix-huit centièmes»;
b) «deux cent virgule cent dix-huit»;
c) «deux cent huit dixièmes»;
d) «deux unités et dix-huit millièmes».

Exercice `52. 
Voici certains des plus hauts sommets des Pyrénées françaises.
Leur hauteur est exprimée en kilomètres.
--Arbizon: `2,831
--Canigou: `2,785
--Mont Valier: `2,838
--Pic Carlit: `2,921
--Pic des Crabouilles: `3,116
--Pic du midi d'Ossau: `2,885
--Pic du port de Sullo: `3,072
--Pic des Spijeoles: `3,065
--Vignemale: `3,298
Ranger ces sommets dans l'ordre décroissant de leur hauteur.

Page `38
Intercaler

Exercice `53. SC`3
Intercaler un nombre décimal entre :
a) `6 et `7;
b) `19 et `18;
c) `10 et `10,1;
d) `13,57 et `13,58;
e) `0,123 et `0,124;
f) `48/10 et `49/10

SC`3 Pour les exercices `54 et `55, intercaler deux nombres entre les deux nombres proposés.
Exercice `54. 
a) `27,3 et `27,4;
b) `12,45 et `12,46;
c) `0,1 et `0,2;
d) `5,27 et `5,278.
Exercice `55.
a) `2,9 et `3;
b) `7,8 et `7,85;
c) `67 et `67,05;
d) `9,99 et `10.

Exercice `56.
Recopier et compléter.
a) `'5,6´ê...´ê...´ê...´ê6
b) `'19,83´ê...´ê...´ê...´ê19,87
c) `'105´ê...´ê...´ê...´ê105,3
d) `'7,4´ê...´ê...´ê...´ê7,5

Exercice `57.
Recopier et compléter.
a) `'2,524´@...´@2,52´@...´@2,42´@...´@2,419
b) `'0,84´@...´@0,83´@...´@...´@0,82

Exercice `58.
Recopier et compléter.
a) `'8,13´ê...´ê8+„5/10;
b) `'318/100´ê...´ê3,2
c) `'9+„3/10;´ê...´ê9+„4/10;
d) `'12+„5/10;+„7/100;´ê...´ê12,58

Exercice `59. 
Recopier les nombres de la liste suivante, qui peuvent être intercalés entre `7,8 et `8,35:
`8,7; `8,3; `7,83; `8,5; `8,035; `7,903; `78,2; `7,082; `7,802; `8,25; `8,305.

Encadrer un nombre

Exercice `60. SC`3
Dans chaque cas, recopier et compléter par deux nombres entiers consécutifs.
a) `'...´ê7,6´ê... 
b) `'...´ê78,1´ê... 
c) `'...´ê99,99´ê...
d) `'...´ê0,83´ê... 

Exercice `61. SC`3
Encadrer par deux nombres entiers consécutifs chacun des nombres suivants:
a) `3,781;
b) `15,079;
c) `158,879;
d) `0,675;
e) `99,999;
f) `190,999.

Exercice `62. 
On appelle a l'abscisse du point A.
Voir schéma ci-joint page `9
`1) Donner un encadrement du nombre `a.
`2) Donner un encadrement à l'unité du nombre `a.

Exercice `63. 
On appelle b l'abscisse du point B.
Voir schéma ci-joint page `9
`1) Donner un encadrement à l'unité du nombre `b.
`2) Donner un encadrement au dixième du nombre `b.

Exercice `64. 
On appelle `c l'abscisse du point ¨c.
Voir schéma ci-joint page `9
`1) Donner un encadrement au dixième du nombre `c.
`2) Donner un encadrement au centième du nombre `c.
`3) Donner un encadrement à l'unité du nombre `c.

Pour les exercices `65 à `67, recopier et compléter les encadrements proposés.
Exercice `65. 
Encadrements à l'unité
a) `'38´êa´ê...
b) `'129´êb´ê...
c) `'...´êc´ê99
d) `'...´êd´ê1000

Exercice `66.
Encadrements au dixième:
a) `'...´êa´ê23,8
b) `'8,3´êb´ê...
c) `'56´êc´ê...
d) `'...´êd´ê20

Exercice `67.
Encadrements au centième:
a) `'...´êa´ê19,83
b) `'61,46´êb´ê...
c) `'5,2´êc´ê...
d) `'...´êd´ê30

Valeurs approchées

Exercice `68. 
On considère l'encadrement du nombre `b suivant:
`'45,26´êb´ê45,27
`1) Quelle est la précision de l'encadrement?
`2) Que représente le nombre `45,26 pour le nombre `b?
`3) Que représente le nombre `45,27 pour le nombre `b?

Exercice `69.
Encadrement au millième du nombre `0,8956:
`'...´ê0,8956´ê...
`1) Recopier et compléter l'encadrement au millième du nombre 0,8956.
`2) Pour ce nombre, que représente le nombre de la case rose terme de gauche? de la case bleue terme de droite?

Page `39
Je fais le point
J’ai appris à …
--Repérer un nombre sur une demi-droite graduée.
--Comparer des nombres décimaux.
--Ranger des nombres décimaux.
--Encadrer un nombre entre deux nombres décimaux.
--Intercaler un nombre entre deux nombres décimaux.
--Donner une valeur approchée par défaut, par excès.

Attention: Il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé! Les trouver toutes.

Pour les exercices `70 à `72, on considère la portion de demi-droite graduée suivante : voir schéma page `9
Exercice `70. 
Le point bleu E pour le braille a pour abscisse:
A: ¨e
B: `23,1
C: `23,01
Si échec, revoir: p. `32

Exercice `71.
L’abscisse du point ¨l est:
A: `'22+„7/10;
B: `22,7
C: `'23-„7/10;
Si échec, revoir: p. `32

Exercice `72.
L’abscisse du point ¨t est:
A: comprise entre `24,4 et `24,5
B: `24,45
C: `24,5
Si échec, revoir: p. `32

Exercice `73. 
Comparer `22,5 et `22,35.
A: `'22,5¨"22,35
B: `'22,5´ê22,35
C: `'22,5´@22,35
Si échec, revoir: p. `32

Exercice `74. 
Comparer `'3+„12/10; et `'312/100.
A: `'3+„12/100;´ê„312/100;
B: `'3+„12/10;´ê„312/100;
C: `'3+„12/10;=„312/10;
Si échec, revoir : p. `32

Exercice `75. 
Ranger les nombres suivants, dans l'ordre décroissant: `6,08; `6,8; `6,81.
A: `'6,8´ê6,08´ê6,81
B: `'6,81´@6,08´@6,8
C: `'6,81´@6,8´@6,08
Si échec, revoir: p. `33

Exercice `76. 
Intercaler un nombre entre `7,4 et `7,5.
A: `'7,4´ê7,40´ê7,5
B: `'7,4´ê7,45´ê7,5
C: `'7,4´ê7,431´ê7,5
Si échec, revoir: p. `33

Pour les exercices `77 à `79, on considère l'encadrement suivant d'un nombre `a:
`'18,24´êa´ê18,25

Exercice `77.
Une valeur approchée par défaut à l’unité du nombre `a est:
A: `18
B: `19
C: `17
Si échec, revoir: p. `33

Exercice `78. 
Une valeur approchée par excès au dixième du nombre `a est:
A: `18,2
B: `18,3
C: `18,4
Si échec, revoir: p. `33

Exercice 79. 
Une valeur approchée par excès au centième du nombre `a est:
A: `18,24
B: `18,25
C: `18,245
Si échec, revoir: p. `33

Page `40
J'approfondis
Exercice `80.
On dispose des quatre étiquettes suivantes: `2; `5; `0; `8.
`1) a) Quel est le plus petit nombre entier de quatre chiffres (sans zéro inutile) que l'on peut former en utilisant chacune de ces étiquettes?
b) Quel est le plus grand nombre entier de quatre chiffres (sans zéro inutile) que l'on peut former en utilisant chacune de ces étiquettes?
`2) a) Quel est le plus petit nombre décimal de quatre chiffres que l'on peut former en utilisant chacune de ces étiquettes et éventuellement une virgule?
b) Quel est le plus grand nombre décimal de quatre chiffres que l'on peut former en utilisant chacune de ces étiquettes et éventuellement une virgule?

Exercice `81.
`7; `2; `0; `4; `3.
En utilisant chacun des chiffres ci-dessus une seule fois et une virgule, écrire, si possible, un nombre décimal compris entre:
a) `16 et `63;
b) `2 et `6;
c) `4 et `5;
d) `0 et `1;
e) `7,2 et `7,3;
f) `37 et `37,02.

Exercice `82.
On considère les trois nombres suivants: `9,4; `3,52; `8; `0.
Pour chacun de ces nombres, donner si possible:
a) le nombre entier qui le suit; 
b) le nombre décimal qui le suit; 
c) le nombre entier qui le précède;
d) le nombre décimal qui le précède.

Exercice `83. 
Ranger dans l'ordre croissant tous les nombres entiers de trois chiffres que l'on peut écrire en utilisant les chiffres `1, `5 et `2 une seule fois chacun.

Exercice `84.
Écrire dans l'ordre décroissant douze nombres décimaux compris entre `8,6 et `8,7.

Exercice `85.
Ranger dans l'ordre croissant tous les nombres décimaux que l'on peut écrire en utilisant une seule fois chacun des chiffres `3, `4 et `8.
Maréva dit: "J'ai trouvé `18 nombres décimaux."

Exercice `86.
Dans chaque cas, comparer les deux nombres:
a) `'7-„3/10; et `'7+„3/10;
b) `'8-„2/10; et `'8-„2/100;
Teihotu dit: "J'ai comparé leur écriture décimale."
c) `'14-„25/10; et `'14+„25/100;
d) `'2+„41/10; et `'7-„9/10;

Exercice `87.
On considère les cinq nombres suivants:
`'18+„5/100;
`1'857/100
`'18+„8/100;+„5/10;
`18 unités et `507 millièmes
`'„153/10;+„321/100;
1) Déterminer l'écriture décimale de chacun des nombres écrits au tableau ci-dessus.
`2) Ranger les nombres écrits au tableau dans l'ordre croissant.

Exercice `88. 
1) Reproduire les trois portions de demi-droites graduées suivantes:
a) voir schéma page `10
b) voir schéma page `10
c) voir schéma page `10
2) Les points ¨f, ¨a, ¨r, ¨m et ¨i ont pour abscisses respectives `3,7; `3,824; `2,6; `3,818 et `3,56.
Placer chacun de ces points sur la portion de demi-droite graduée la mieux adaptée.

Exercice `89.
Le tableau ci-dessous donne les abscisses de quatre points.
Point ¨a : Abscisse `3,8
Point ¨b: Abscisse `'3+„85/100;
Point ¨c: Abscisse `'381/100
Point ¨d: Abscisse `3,91

`1) Placer les quatre points ¨a, ¨b, ¨c et ¨d sur une demi-droite graduée après avoir choisi convenablement l'unité.
`2) En déduire le rangement dans l'ordre décroissant des abscisses des quatre points.

Page `41

Exercice `90. Géographie
Le tableau ci-dessous donne les longueurs de parcours des cinq principaux fleuves français.
Fleuve; Longueur totale (en km); Longueur en France (en km)
--Garonne; `645; `523
--Loire; `1'012; `1'012
--Rhin; `1'325; `188
--Rhône; `812; `545
--Seine; `776; `776
`1) Lesquels de ces fleuves ont une partie de leur parcours sur un territoire étranger? 
`2) Ranger ces fleuves dans l'ordre croissant de leur longueur totale de parcours.
`3) Ranger ces fleuves dans l'ordre décroissant de leur longueur de parcours en France.

Exercice `91.
Le tableau ci-dessous donne quelques caractéristiques des futures tours les plus hautes du monde. 
Les travaux de construction de ces tours, déjà commencés, se termineront entre `2009 et `2012.
`1) Ranger ces tours dans l'ordre croissant de leur nombre d'étages.
`2) Ranger ces tours dans l'ordre décroissant de leur hauteur.
Adaptation du tableau: items classés dans l'ordre suivant:
Pays; Nom de la tour ; Hauteur (en hm) ; Nombre d'étages
--États-Unis; Chicago Spire; `6,09; `150
--Émirats Arabes Unis ; Burj Al Alam; `5,01; `108
--Russie; Russia Tower; `6,12; `118
--Émirats Arabes Unis; Pentonium; `5,16; `120
--Émirats Arabes Unis ; Burj Dubai; `7,05; `162

Exercice `92. Exercice non adapté
Une petite souris veut rejoindre un morceau de fromage.
Elle se déplace sur la grille ci-dessous horizontalement ou verticalement. La souris ne peut accéder à la case suivante que si le nombre de cette case est supérieur à celui de la case sur laquelle elle se situe.
`1) Poser un papier-calque sur la grille.
`2) a) Tracer sur ce papier le chemin que la souris va emprunter.
b) Quel fromage la souris va-t-elle manger?

Exercice `93.
Le tableau ci-dessous présente les langues les plus parlées dans le monde.
Adaptation du tableau: items classés dans l'ordre suivant:
Langues; Nombres de pays; Nombres de personnes (en centaines de millions)
--Anglais; `45; `10,8
--Français; `31; `5,2
--Russe; `26; `2,75
--Arabe; `25; `2,59
--Espagnol; `20; `3,89
--Portugais; `10; `2,21
--Allemand; `5; `2
--Mandarin; `3; `12
--Hindi; `2; `7,25
--Bengali; `2; `2,10

`1) Pour chaque langue, donner un exemple de pays dans lequel elle est parlée.
`2) Combien de millions de personnes parlent Français dans le monde?
`3) Dans ce tableau, les langues ont été écrites dans un ordre précis. Comment ont-elles été classées?
`4) Ranger ces langues dans l'ordre croissant du nombre de personnes qui les pratiquent.

Page `42
Devoirs à la maison
Devoir A
Exercice `94.
La Bretagne est une région française située au Nord-Ouest.
Elle compte `3,021 millions d’habitants pour une superficie de `27,442 millier de `'km^2.
En utilisant le tableau ci-dessous, ranger les quatre départements bretons:
a) du plus peuplé au moins peuplé,
b) dans l’ordre croissant de leur superficie;
c) dans l’ordre croissant de leur densité.
Adaptation du tableau: items classés dans l'ordre suivant:
D: Département; P: Population (en millions d'habitants); S: Superficie (en milliers de `'km^2); N: Densité (en nombre d’habitants au `'km^2).

D: Côtes d'Armor; P: `0,56; S: `6,878; N: `79
D: Finistère; P: `0,874; S: `6,729; N: `127
D: Ille-et-Vilaine; P: `0,9; S: `6,992; N: `128
D: Morbihan; P: `0,677; S: `9,823; N: `94

Devoir B
Exercice `95.
Voir schéma page `10
`1) Donner l'abscisse de chacun des points ¨m, ¨e et ¨r.
`2) Donner un encadrement au centième de l'abscisse `t du point ¨t.
`3) Donner une valeur approchée au centième de l'abscisse du point ¨t:
a) par défaut;
b) par excès.
`4) Reproduire la portion de demi-droite graduée ci-jointe page 10.
Puis, placer les points ¨i, ¨c et ¨a d’abscisses respectives:
`16,73; `'16+„79/100; et `'16+„7/100;+„8/10;
`5) Ranger, dans l’ordre croissant, les abscisses des points ¨m, ¨e, ¨r, ¨t, ¨i, ¨c et ¨a.

Je cherche
Exercice `96. 
Je suis un nombre décimal dont la somme des chiffres est `9.
Une valeur approchée au dixième par excès de ce nombre est `2,1.
Mon chiffre des centièmes est le triple de celui des unités.
Trouver deux nombres possibles.

Exercice `97. 
`1) Je suis un nombre décimal. Une de mes valeurs approchées au dixième par défaut est égale à ma partie entière. Donner un exemple de nombre possible. 
`2) Je suis un nombre décimal. Une de mes valeurs approchées au dixième par excès peut-elle être égale à ma partie entière? Justifier la réponse.

Exercice `98. 
Je suis un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule.
Mon chiffre des centièmes est `5.
Une de mes valeurs approchées au dixième par excès est égale à mon chiffre des dixièmes.
Qui suis-je?

Exercice `99. 
Je suis un nombre décimal ayant deux chiffres après la virgule.
Je suis supérieur à `0,45 mais inférieur à `0,5.
Je peux être intercalé entre `0,44 et `0,49.
Le nombre `0,47 est intercalé entre moi et `0,51.
Qui suis-je?

Page `43
J’utilise un tableur
On utilise le Tableur Excel. (B`2i)
Exercice `100.
En dehors de la France métropolitaine, le territoire français comporte des collectivités situées en outre-mer : la Guadeloupe, la Martinique, la Guyane, la Réunion, la Polynésie française, Saint-Pierre et Miquelon, Wallis et Futuna, Mayotte, Saint-Martin, Saint-Barthélemy et la Nouvelle Calédonie. Carte non adaptée
A) Étape `1
Recopier sur une page de tableur le tableau ci-après.
On peut également ouvrir le fichier «`2-Collectivités» sur le cédérom élève.
Cellules du tableur:
Colonnes: A; B; C
Ligne `1 A: Collectivités; B: nombre d'habitants; C: superficie en `'km^2
L `2 A: Guadeloupe; B: `450'000; C: `1'628
L `3 A: Martinique; B: `432'900; C: `1'128 
L `4 A: Guyane; B: `195'506; C: `86'504
L `5 A: Réunion; B: `76'948;C: `2'512
L `6 A: Polynésie française; B: `260'338; C: `4'167
L `7 A: Saint-Pierre et Miquelon; B: `7'012; C: `242
L `8 A: Wallis et Futuna; B: `15'185; C: `274
L `9 A: Mayotte; B: `201'234; C: `374
L `10 A: Saint-Martin; B: `31'397; C: `53
L `11 A: Saint Barthélémy; B: `6'852; C: `25
L `12 A: Nouvelle-Calédonie; B: `232'258; C: `1'958

B) Étape `2 : Nombre d'habitants
`1) Sélectionner les trois colonnes A, B et C.
On veut trier ces collectivités par ordre décroissant de leur nombre d'habitants. Pour cela :
`2) Dans «Données», sélectionner «Trier».
Cliquer sur la flèche et dans le menu déroulant, choisir «Nombre d'habitants».
Choisir ensuite «Décroissant».
Valider en cliquant sur «OK».
`3) Quelle collectivité est la plus peuplée? la moins peuplée?

C) Étape `3 : Superficie
`1) Utiliser le tableur pour ranger les collectivités d'outre-mer dans l'ordre croissant de leur superficie. 
`2) Quelle collectivité est la plus étendue? la moins étendue ?
D) Étape `4 : Colonne A
`1) Utiliser le tableau pour trier les collectivités d'outre-mer suivant la colonne A.
`2) Suivant quel critère le logiciel a-t-il trié la colonne A?

Exercice `101.
`1) Recopier sur une page de tableur le tableau ci-après.
On peut également ouvrir le fichier «`2-Planètes» sur le cédérom élève. 
`2) Utiliser le tableur pour ranger ces planètes :
a) de la plus proche à la plus éloignée du Soleil; 
b) de la plus grosse à la plus petite.

Colonnes: A; B; C
L `1 et `2 A: Planètes; B: Distance Moyenne du soleil en millions de km; C: Diamètre en km
L `3 A: Jupiter; B: `778,3; C: `142'984
L `4 A: Mars; B: `227,9; C: `6'780
L `5 A: Mercure; B: `57,9; C: `4'878
L `6 A: Neptune; B: `497,07; C: `49'248
L `7 A: Saturne; B: `1'427,00; C: `120'500
L `8 A: Terre; B: `149,6; C: `12'742
L `9 A: Uranus; B: `2'877,38; C: `50'724
L `10 A: Vénus; B: `108,2; C: `12'104

Page `44
Découverte
Les cyclones
Un cyclone est une très forte dépression qui se forme sur les océans chauds et qui s'accompagne de vents très violents et de pluies torrentielles.
Lorsque la vitesse du vent dépasse `63 `'km/h, on donne au cyclone un prénom.
Les cyclones tropicaux sont classés en trois catégories selon la vitesse du vent 
--la dépression tropicale: la vitesse du vent est inférieure à `62 `'km/h;
--la tempête tropicale: la vitesse du vent est comprise entre `63 `'km/h et `117 `'km/h;
--l'ouragan: la vitesse du vent est supérieure à `118 `'km/h.

Image non adaptée du cyclone Fay, côte Est de la Floride, USA, `2008.

Exercice `102.
`1) Déterminer la catégorie de chacun des cyclones suivants observés en `2008:
--Dolly : les vents de ce cyclone ont soufflé jusqu'à `110 `'km/h;
--Fame : la vitesse des vents de ce cyclone a atteint `45 `'km/h;
--Bertha : avec des vents soufflant à une vitesse supérieure à `165 `'km/h, ce cyclone est passé au large des Bermudes.
`2) La tempête tropicale Chris a été observée en `2006.
Proposer une vitesse maximale du vent possible.

Image non adaptée de la tempête tropicale Chris, Porto Rico, `2006.

Classification des ouragans
L'échelle de Saffir-Simpson classe les ouragans en cinq catégories selon leur intensité. Cette échelle établit une correspondance entre la pression minimale enregistrée au centre de l'ouragan, la vitesse du vent et les dégâts engendrés.
Adaptation du tableau:
C: Catégorie; P: Pression atmosphérique (en hPa, hecto Pascal (unité de la pression)); V: Vitesse du vent (en `'km/h)
C: Classe I; P: `980 et plus; V: `118 à `153
C: Classe II; P: `965 à `979; V: `154 à `177
C: Classe III; P: `945 à `964; V: `178 à `209
C: Classe IV; P: `930 à `944; V: `210 à `249 
C: Classe V; P: moins de `930; V: `250 et plus


Exercice `103.
`1) À partir du tableau ci-contre, déterminer la catégorie de chaque ouragan.
`2) Ranger ces ouragans dans l'ordre croissant de leur vitesse maximale du vent. 
`3) Ranger ces ouragans dans l'ordre croissant de leur pression atmosphérique.
`4) Quelle remarque peut-on faire sur ces deux rangements?
Adaptation du tableau:
N: Nom de l'ouragan; P: Pression atmosphérique (en hPa, hecto Pascal (unité de la pression)); V: Vitesse maximale du vent (en `'km/h)
N: Juan (`2002); P: `969; V: `165
N: Frances (`2004); P: `935; V: `230
N: Stan (`2005); P: `979; V: `130
N: Dennis (`2005); P: `930; V: `240
N: Beta (`2005); P: `960; V: `185
N: Félix (`2007); P: `929; V: `270