Phare `'3^me
Chapitre 2
Calcul littéral

Page `'39
Utilisation de la distributivité

`'1) Développer chaque expression.
a. `'3(x!5);
b. `'-8(6!x);
c. `'(-3x)(4!a);
d. `'(y!2)*(-9x);
e. `'x(x-7);
f. `'-5a(9-a).

`'2) Développer chaque expression.
a. `'3(x!y!4);
b. `'-4a(a!6!b);
c. `'(x!3)(y!8);
d. `'(3a!1)(5!4b);
e. `'(5x!2)(2y-1);
f. `'(3a-2)(5b-1).

`'3) Supprimer les parenthèses.
a. `'3!(a!b);
b. `'3!(-a-b);
c. `'5-(a!b);
d. `'5-(a-b);
e. `'9-(-a!b);
f. `'9-(-a-b).

`'4) Factoriser chaque expression.
a. `'7a!7b;
b. `'4*3,5-3,5*x;
c. `'-5x!(-5)*y;
d. `'-8x!56;
e. `'-2ab!ac;
f. `'4x^2!3x.

`'5) Réduire chaque expression.
a. `'13x!9x!2x;
b. `'x!x;
c. `'-7x-6x!x;
d. `'4x^2!2,5x^2!3;
e. `'-6y^2-8y!y^2;
f. `'x-x^2!x!x^2-x.

`'6) Réduire quand c'est possible.
a. `'2x^2!5;
b. `'10x^2!5x-3;
c. `'x^2-4x-9x;
d. `'5x^2-12x^2-6x;
e. `'5y^2-y;
f. `'3x-x^2-7x-4-6x^2.

`'7) Développer et réduire chaque expression.
a. `'(x!1)(x!2);
b. `'(x!2)(x!5);
c. `'(5!x)(x!1);
d. `'(x!2)(3!x).

`'8) Développer et réduire chaque expression.
a. `'(x!1)(x-4);
b. `'(x-1)(x!2);
c. `'(x-1)(x-5);
d. `'(x-2)(3-x).

`'9) Déterminer le facteur commun.
a. `'(x!4)(3x-7)!4(x!4);
b. `'(3x-1)(y!5)-6(3x-1);
c. `'(5x!2)(3x-7)!(5x!2);
d. `'(3x-7)-(3x-7)(x!4).


Utilisation des identités remarquables

`'10) Dire si les égalités suivantes sont vraies ou fausses. Justifier chaque réponse.
a. `'5x^2"(5x)^2;
b. `'36x^2"(6x)^2;
c. `'4x^2"(-2x)^2;
d. `'(3x)^2"6x^2;
e. `'(-x)^2"x^2;
f. `'-9x^2"(-3x)^2.

`'11) Compléter:
a. `'(5x)^2"...;
b. `'(-3x)^2"...;
c. `'-(3x)^2"...;
d. `'36x^2"(...)^2;
e. `'..."(2y)^2;
f. `'49y^2"(...)^2.

`'12) Développer chaque expression.
a. `'(x!5)^2;
b. `'(6!x)^2;
c. `'(4!a)^2;
d. `'(y!2)^2;
e. `'(3!x)^2;
f. `'(1!a)^2.

`'13) Développer chaque expression.
a. `'(x-5)^2;
b. `'(3-x)^2;
c. `'(2-a)^2;
d. `'(3y-4)^2;
e. `'(6-5x)^2;
f. `'(1-2a)^2.

`'14) Développer chaque expression.
a. `'(x!5)(x-5);
b. `'(x-5)(x!5);
c. `'(5!x)(5-x);
d. `'(5-x)(5!x).

`'15) Développer chaque expression.
a. `'(x!4)(x-4);
b. `'(x-1)(x!1);
c. `'(3!2x)(3-2x);
d. `'(5x!3)(3-5x).

`'16) Calculer astucieusement:
a. `'101^2;
Note: j'ai utilisé `'101^2"(100!1)^2.
b. `'99^2;
c. `'101 x 99;
d. `'102^2;
e. `'98^2;
f. `'102 x 98;
g. `'51 x 49;
h. `'52 x 48;
i. `'54 x 46.

`'17) Factoriser chaque expression.
a. `'x^2!6x!9;
b. `'x^2-2x!1;
c. `'x^2!10x!25;
d. `'x^2-4x!4.

`'18) Factoriser chaque expression.
a. `'x^2-3^2;
b. `'x^2-4;
c. `'16-x^2;
d. `'9x^2-25;
e. `'1-100x^2;
f. `'49a^2-9.

Page `'40
Savoir-faire
`'1) J'apprends à développer en utilisant la distributivité

Énoncé: développer puis réduire l'expression:
`'¨e"3(4x-5)-(2x!7)(4x-5).

Je développe chaque produit figurant dans cette somme algébrique.
`'¨e"3*4x!3*(-5)-à2x*4x!2x*(-5)!7*4x!7*(-5)ù
`'¨e"12x-15-(8x^2-10x!28x-35)

Je supprime les parenthèses précédées d'un signe `'- en changeant les signes à l'intérieur.
`'¨e"12x-15-8x^2!10x-28x!35

Je réduis en ajoutant entre eux les termes ayant la même partie littérale.
`'¨e"-8x^2!(12!10-28)x-15!35
`'¨e"-8x^2-6x!20.

J'applique

`'19) Développer chaque expression.
a. `'a(x!2);
b. `'-3(a!4);
c. `'x(3-5a);
d. `'-2b(-a!b);
e. `'2x(x!3);
f. `'-3y(y!5);
g. `'-2x(x^2-7);
h. `'-7y^2(-5-2y^2).

`'20) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `'¨a"3x!2!2(7!4x);
b. `'¨b"4x!9!6(-7!x);
c. `'¨c"2(1!3x^2)!x(4x-5);
d. `'¨d"-3(a!2)!5(a-3).

`'21) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `'¨a"5x!7-3(8!5x);
b. `'¨b"-7x!3-9(-2!x);
c. `'¨c"3(1!6x^2)-4(4x^2-5);
d. `'¨d"-4,1(2!x)-2,5x(-3-0,2x).

`'22) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `'¨a"2(4x-5)!(5x!7)-3(8!5x);
b. `'¨b"9(x-8)-(x^2-3x)-7(x-9);
c. `'¨c"-3(1!4x)-4(5x!8)!x(4x-7);
d. `'¨d"-5(-1!3x^2)-x(5!x)-2x(3-2x).

Pour les exercices de `'23 à `'27, développer, puis réduire, si possible, chaque expression.

`'23)
a. `'(x!5)(x!1);
b. `'(2x-5)(x!4);
c `'(2x-3)(3x-8);
d. `'-(1!2x)(9x!1);
e. `'-(2x!5)(3x-8);
f. `'-(3x-3/7)(7x-14).

`'24)
a. `'¨a"4x!(2x!1)(5x-3);
b. `'¨b"(x!3)(y!9)!10x-7;
c. `'¨c"(3x-5)(7!6x)-(7!x);
d. `'¨d"5x!1-(x!4)(x-9).

`'25)
a. `'¨a"3(x!2)!(7!4x)(7-6x);
b. `'¨b"4(x!9)-(7!x)(x!1);
c. `'¨c"-2(1-3x)-(3x!2)(x-5);
d. `'¨d"-3(a^2!2)-(a-3)(2a!7).

`'26)
a. `'¨a"-5(x!5)!(3x-1)(-4x!3)!7x-9;
b. `'¨b"2(7x^2-1)-(4!x)(x-6)-(x!7);
c. `'¨c"7-5(2x!1)-(8-4x)(2x!9).

`'27)
a. `'¨a"(x!4)(x-6)!(-1!x)(x-7);
b. `'¨b"(x-1)(5x-2)-(-6!3x)(-1!x);
c. `'¨c"-(3x-8)(x!4)-(7x-8)(-1!7x);
d. `'¨d"-(2x-5)(3-4x)!(6x-9)(-2x-1).

Page `'41
Savoir-faire
`'2) J'apprends à factoriser en utilisant la distributivité

Énoncé: factoriser chaque expression.
a. `'¨f"(7x-8)(5x!4)-(7x-8)(x-1).
b. `'¨g"(3x-5)^2!(3x-5).

Solution
a. Je remarque que `'x-8 est un facteur commun aux deux termes de cette somme algébrique.
`'¨f"(7x-8)(5x!4)-(7x-8)(x-1)
`'¨f"(7x-8)à(5x!4)-(x-1)ù
`'¨f"(7x-8)(5x!4-x!1)
`'¨f"(7x-8)(4x!5).

b. Je mets en évidence le facteur commun `'3x-5.
`'¨g"(3x-5)^2!(3x-5)
`'¨g"(3x-5)(3x-5)!(3x-5)*1
`'¨g"(3x-5)à(3x-5)!1ù
`'¨g"(3x-5)(3x-4).

J'applique
Pour les exercices `'28 à `'37, factoriser chaque expression

`'28)
a. `'4x!4;
b. `'8x-8;
c. `'4!2x;
d. `'2x-8;
e. `'9x^2-5x;
f. `'6x!9.

`'29)
a. `'¨a"x(x!5)!x(3x-2);
b. `'¨b"(x!5)(2x!1)!6(2x!1);
c. `'¨c"-4x(2x!3)!(2x!3)(9x-2);
d. `'¨d"-8x(5x-1)-8x(12-x).
Je remarque que:
`'8x(12-x)"!(-8x)(12-x).

`'30)
a. `'¨a"-7x(x!2)-(7!x)(x!2);
b. `'¨b"-9x(4x-5)-(4x-5)(1-2x);
c. `'¨c"5(2x!3)-(3x-8)(2x!3);
d. `'¨d"(1-2x)(9x-1)-(9x-1)(7!3x).

`'31)
a. `'¨a"(x!4)(x-6)!(-1!x)(x-6);
b. `'¨b"(7x-4)(x!4)!(7x-4)(7x-1);
c. `'¨c"(x!1)(5x-6)-(5x-6)(-1!4x);
d. `'¨d"(3x!8)(x!4)-(x-1)(3x!8).

`'32)
a. `'¨a"(x!3)(y!9)!x!3;
b. `'¨b"(a-5)(7!b)-(7!b);
c. `'¨c"3x!1!(3x-1)(3x!1);
d. `'¨d"x!5!(x!5)(6x!3).

`'33)
a. `'¨a"(9x!1)^2!9x!1;
b. `'¨b"(7x-3)^2!7x-3;
c. `'¨c"1!3x!(3x!1)^2;
d. `'¨d"x-5!(x-5)^2.

`'34)
a. `'¨a"(2x!1)^2!(3x-8)(2x!1);
b. `'¨b"(4x!3)^2!(2x-8)(4x!3);
c. `'¨c"(5!x)(8-3x)!(x!5)^2;
d. `'¨d"(3x-1)^2!(-1!3x)(5x!8).

`'35)
a. `'¨a"(4x!5)^2-(3x-6)(4x!5);
b. `'¨b"(5x-2)^2-(5x-2)(x!3);
c. `'¨c"(4-9x)(x!7)-(4-9x)^2;
d. `'¨d"(4x!3)(x-5)-(x-5)^2.

`'36)
a. `'¨a"(3x-1)-(3x-1)^2;
b. `'¨b"(7x!5)^2-(7x!5);
c. `'¨c"(9x!7)^2-9x-7;
Je remplace `'-9x-7 par `'-(9x!7).
d. `'¨d"(x!5)^2-x-5.

`'37)
a. `'¨a"(x-5)^2-x!5;
b. `'¨b"(9x-4)^2!4-9x;
Je remarque que `'4-9x"-(9x-4).
c. `'¨c"(9x-4)^2!(4-9x)(x!7);
d. `'¨d"(5x-8)^2-(8-5x)(x!2).

Page `'42
Savoir-faire
`'3) J'apprends à utiliser les identités remarquables

Énoncé:
`'1) Développer l'expression: `'¨e"(3x-7)^2.
`'2) Factoriser l'expression: `'¨h"36y^2-25.

Solution:
`'1) Développons `'¨e"(3x-7)^2
Je reconnais la forme `'(a-b)^2 avec `'a"3x et `'b"7.
`'¨e"(3x)^2-2*3x*7!7^2
`'¨e"9x^2-42x!49.

`'2) Factorisons `'¨h"36y^2-25
Je reconnais une différence de deux carrés `'a^2-b^2 avec `'a"6y et `'b"5.
`'¨h"(6y)^2-5^2
`'¨h"(6y!5)(6y-5).

J'applique
Pour les exercices de `'35 à `'45, développer, puis réduire chaque expression.

`'38)
a. `'(x!2)^2;
b. `'(a!5)^2;
c. `'(7!a)^2;
d. `'(3x!5)^2;
e. `'(6!5a)^2;
f. `'(1/2„x;!3)^2.

`'39)
a. `'(x-3)^2;
b. `'(4-a)^2;
c. `'(b-7)^2;
d. `'(6x-7)^2;
e. `'(3-4b)^2;
f. `'(4b-3)^2.

`'40)
a. `'(x!5)(x-5);
b. `'(3!x)(3-x);
c. `'(x-8)(x!8);
d. `'(a-4)(a!4).

`'41)
a. `'(3x!1)(3x-1);
b. `'(4-7x)(4!7x);
c. `'(2x!5)(2x-5);
d. `'(5!2x)(5-2x).

`'42)
a. `'(2x!3)^2
b. `'(2x-3)^2;
c. `'(2x!3)(2x-3);
d. `'(2x-3)^2!(2x!3)^2.

`'43)
a. `'¨a"(x!1)^2-9;
b. `'¨b"(4x!3)^2-x!6;
c. `'¨c"(5x-3)^2-4(x!2);
d. `'¨d"2(x!5)!(x!8)^2.

`'44)
a. `'¨a"4-(5x!1)^2;
b. `'¨b"3(6x!2)-(7x-3)^2;
c. `'¨c"(x!1)^2-(x!6)^2;
d. `'¨d"(2x!1)^2-(2x-1)^2.

`'45)
a. `'¨a"(2x-5)^2!(2x!3)(2x-3);
b. `'¨b"(x!2)^2-(x-5)^2!(x!4)(x-4).

`'46) Recopier et compléter.
a.
`'x^2!10x!25"(...)^2!2*...*...!(...)^2
`'x^2!10x!25"(...!...)^2
b.
`'4x^2-12x!9"(...)^2-2*...*...!(...)^2
`'4x^2-12x!9"(...)^2

Pour les exercices de `'47 à `'52, factoriser chaque expression.

`'47)
a. `'x^2!8x!16;
b. `'x^2!2x!1;
c. `'x^2!10x!25;
d. `'9x^2!6x!1.

`'48)
a. `'x^2-6x!9;
b. `'x^2-4x!4;
c. `'4x^2-12x!9;
d. `'9x^2-30x!25.

`'49)
a. `'x^2-16;
b. `'x^2-1;
c. `'4-x^2;
d. `'100-y^2;
e. `'169-b^2;
f. `'0,01-a^2.

`'50)
a. `'4x^2-1;
b. `'16a^2-25;
c. `'25-9b^2;
d. `'4-36a^2;
e. `'-49x^2!1;
f. `'y^2-36/49'

`'51)
a. `'¨a"(x!1)^2-9;
b. `'¨b"(4x!3)^2-1;
c. `'¨c"4-(2x!1)^2;
d. `'¨d"(5x-3)^2-x^2.

`'52) Donner une valeur à `'m de façon à pouvoir écrire les expressions sous la forme d'un carré d'une somme ou d'un carré d'une différence.
a. `'x^2-6x!m;
b. `'x^2-mx!100;
c. `'x^2!mx!16;
d. `'4x^2!mx!25;
e. `'(2x)^2!4x!m;
f. `'mx^2-40x!100.

Page `'43
Je m'entraîne

Utilisation d'expressions littérales

Pour les exercices `'53 à `'58, on considère la figure en annexe `'1 où `'¨i¨j¨k¨l est un rectangle. `'¨r?1, `'¨r?2 et `'¨r?3 sont des rectangles. On pose `'¨i¨m"x et `'¨j¨k"y.
Correspondances de couleurs:
`'¨r?1: "vert"
`'¨r?2: "orange"
`'¨r?3: "bleu"

`'53) `'1) Quelles sont les valeurs possibles pour le nombre `'x? pour le nombre `'y?
`'2) Exprimer à l'aide de `'x et de `'y les dimensions de chacun des rectangles `'¨i¨j¨k¨l, `'¨r?1, `'¨r?2 et `'¨r?3.

`'54) `'1) Pour quelle(s) valeur(s) de `'x, le rectangle `'¨r?1 est-il un carré?
`'2) Pour quelle(s) valeur(s) de `'y, le rectangle `'¨i¨j¨k¨l est-il un carré?
`'3) Pour quelles valeurs de `'x et de `'y, les figures `'¨r?1 et `'¨i¨j¨k¨l sont-elles des carrés?

`'55) `'1) Pour chacun des rectangles `'¨r?1, `'¨r?2 et `'¨r?3:
a. écrire leur périmètre sous forme factorisée;
b. écrire leur périmètre sous forme développée;
c. calculer la somme de ces trois périmètres (on donnera une expression réduite);
`'2) Calculer le périmètre du rectangle `'¨i¨j¨k¨l.

`'56) `'1) Donner une expression développée de l'aire de chacun des rectangles `'¨r?1, `'¨r?2 et `'¨r?3.
`'2) Calculer la somme ces trois aires.
Pouvait-on prévoir ce résultat? Justifier la réponse.

`'57) Trouver une valeur de `'x et une valeur de `'y pour que les figures suivantes soient simultanément des carrés:
a. `'¨r?1 et `'¨r?3;
b. `'¨r?1 et `'¨r?2;
c. `'¨i¨j¨k¨l et `'¨r?3.

`'58) Dans cet exercice, on pose `'y"2,5 `'cm.
`'1) Écrire en fonction de `'x une condition permettant d'affirmer que `'¨r?1 et `'¨r?3 ont le même périmètre. Trouver la valeur de `'x.
`'2) Trouver une valeur de `'x pour laquelle `'¨r?1 et `'¨r?3 ont la même aire.

Utilisation des identités remarquables

`'59) `'x et `'y désignent des nombres. Écrire les expressions mathématiques correspondant à:
a. leur somme;
b. le carré de leur somme;
c. la somme de leurs carrés;
d. le produit de leur somme par leur différence;
e. la différence de leurs carrés;
f. le carré de leur différence;
g. le carré de leur produit;
h. le double de leur produit.

`'60) Développer, puis réduire les expressions.
a. `'¨a"(7x!3)^2-(x!2)(2x-9);
b. `'¨b"(2x-3)(5-x)-(2x-3)^2.

`'61) Lorsque c'est possible, factoriser en utilisant les identités remarquables.
a. `'x^2-6x!9;
b. `'2x^2!12x!3^2;
c. `'x^2-81;
d. `'x^2!16;
e. `'9x^2-25;
f. `'1-100x^2;
g. `'25!x^2-20x;
h. `'49a^2-9!42a;
i. `'4x^2!y^2.

`'62) Compléter en utilisant les identités remarquables.
a. `'(3x!...)^2"...!...!25;
b. `'(2x-...)^2"...-24x!...;
c. `'(...)^2"...-16y!16;
d. `'49a^2!...!25"(...)^2;
e. `'4x^2-..."(	...-...)(...!1).

`'63) Calculer sans utiliser la calculatrice:
`'¨a"999'999^2;
Je remarque que: `'999'999"1'000'000-1.
`'¨b"1'000'002^2;
`'¨c"1'004^2;
`'¨d"999'999'998*1'000'000'002;
`'¨e"65'189'678*65'189'682-65'189'680^2;
`'¨f"(3/5!2/5)^2.

`'64) `'n étant un nombre entier, on considère la liste:
`'2n!4, `'2n, `'2n-1, `'2n!1, `'2n-2, `'2n!3, `'2n!2.
Dans cette liste, reconnaître les nombres pairs et les ranger par ordre croissant.
Calculer le carré de chacun de ces nombres pairs.

Page `'44
Au brevet

`'65) Centres étrangers `'2002
Recopier et compléter pour que les égalités soient vraies pour toutes les valeurs de `'x.
`'1) `'(x!...)^2"...!6x!...
`'2) `'(...-...)^2"4x^2!25
`'3) `'...-64"(7x-...)(...!...)

`'66) Océan indien `'2002
On considère les expressions:
`'¨e"4x(x!3) et `'¨f"x^2!6x!9.
`'1) a. Calculer la valeur de `'¨f pour `'x"-2.
Calculer la valeur de `'¨e pour `'x"0, puis pour `'x"-3/7.
b. Vérifier que `'¨f"(x!3)^2.
`'2) a. Développer `'¨e.
b. Réduire `'¨e-¨f.
c. Factoriser `'¨e!¨f.

`'67) Paris `'2006
`'¨d"(2x!3)^2!(2x!3)(7x-2).
`'1) Développer et réduire `'¨d.
`'2) Factoriser `'¨d.
`'3) Calculer `'¨d pour `'x"-4.

`'68) Nancy-Metz `'2006
On considère l'expression:
`'¨e"(3x!2)^2-(5-2x)(3x!2).
`'1) Développer et réduire l'expression `'¨e.
`'2) Factoriser `'¨e.
`'3) Calculer la valeur de `'¨e pour `'x"-2.

`'69) Amérique du Sud `'2005
`'¨e"x^2-4 et `'¨f"(x!2)(3x!1)-(x!2)(2x!3).
`'1) Calculer `'¨e pour `'x"0, puis pour `'x"1.
Calculer `'F pour `'x"0, puis pour `'x"1.
`'2) En factorisant `'¨e et en factorisant `'¨f, prouver que `'¨e"¨f quelle que soit la valeur de `'x.

`'70) Amérique du Nord `'2006
On considère l'expression `'¨e:
`'¨e"4x^2!8x-5.
`'1) Calculer `'¨e pour `'x"0,5.
`'2) On considère l'expression `'¨f"(2x!2)^2-9.
a. Développer, puis réduire `'¨f.
b. Factoriser `'¨f.
c. En déduire une factorisation de `'¨e.

`'71) Polynésie `'2007
On considère l'expression:
`'¨e"9x^2-25!(3x-5)(2x!15).
`'1) Développer et réduire l'expression `'¨e.
`'2) a. Factoriser `'9x^2-25.
b. En déduire une factorisation de `'¨e.

`'72) Amérique du Nord `'2000
On considère `'¨a"(x-2)^2-(x-1)(x-4).
`'1) Adaptation du tableau.
Calculer chaque expression ci-dessous pour: `'x"10; `'x"100.
`'x-2
`'(x-2)^2
`'x-1
`'x-4
`'(x-1)(x-4)

`'2) Développer et réduire `'¨a.
`'3) Utiliser ce qui précède pour calculer facilement: `'1'234^2-1'235*1'232.

`'73) Rennes `'2002
`'1) Développer et réduire l'expression:
`'¨p"(x!12)(x!2).
`'2) Factoriser l'expression: `'¨q"(x!7)^2-25.
`'3) `'¨a¨b¨c est un triangle rectangle en `'¨a et `'x désigne un nombre positif. On donne `'¨b¨c"x!7 et `'¨a¨b"5. Faire un schéma et montrer que: `'¨a¨c^2"x^2!14x!24.

`'74) Amérique du Sud `'2005
Soit `'x un nombre positif compris entre `'0 et `'10. La figure en annexe `'2 est effectuée à main levée.
`'1) Calculer `'¨a¨b et `'¨a¨c lorsque `'x"4. Lorsque `'x"4, `'¨a¨b¨c est-il un triangle rectangle? Justifier la réponse.
`'2) Développer et réduire `'(x!7)^2 et `'(x!8)^2.
En déduire que: `'¨a¨b^2-¨a¨c2"2x!15.
`'3) Quelle est la valeur de `'¨a¨b^2-¨a¨c^2 lorsque `'x"0, lorsque `'x"5? lorsque `'x"10?
La valeur de `'¨b¨c^2 dépend-elle du nombre `'x?
Existe-t-il une valeur de `'x pour laquelle le triangle `'¨a¨b¨c est rectangle?

Page `'45
Mon bilan

J'ai appris à:
-développer et réduire en utilisant la distributivité;
-mettre en facteur une expression littérale.
-développer, factoriser en utilisant les identités remarquables.

Pour les exercices `'75 à `'84:
Trouver la bonne réponse.
Attention! il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé.

`'75) L'expression `'5x(3x!2) peut être:
A. factorisée par `'5x
B. développée
C. factorisée par `'(3x!2)

`'76) L'expression `'5x(x-3)-7(x-3) peut être:
A. factorisée par `'5x
B. développée
C. factorisée par `'(x-3) 

`'77) `'(5x-9)(2x-1) égale:
A. `'10x^2!9
B. `'10x^2-23x-9
C. `'10x^2-23x!9

`'78) `'(x!5)^2 égale:
A. `'x^2!10x!25
B. `'x^2!25
C. `'x^2!10x!10

`'79) `'(3x-1)^2 égale:
A. `'9x^2!6x-1
B. `'3x^2-6x!1
C. `'9x^2-6x!1

`'80) `'(7-3x)(7!3x) égale:
A. `'7^2-3x^2
B. `'49-9x^2
C. `'14-9x^2

Pour les exercices `'81) et `'82), on considère l'expression:
`'¨e"(3x!5)(x 2)-(x-2)(x!17).

`'81) Une expression développée et réduite de `'¨e est:
A. `'2x^2-16x!24
B. `'2x^2!14x-44
C. `'(x-2)(2x-12)

`'82) Une expression factorisée de `'¨e est:
`'2x^2-16x!24
`'(x-2)(2x!22)
`'(x-2)(2x-12)

`'83) `'25x^2-16 égale:
A. `'(5x)^2-4^2
B. `'(5x-4)(5x!4)
C. `'(5x-4)^2

`'84) Une expression factorisée de `'16x^2-8x!1 est:
A. `'8x(2x-1)!1
B. `'(4x-1)^2
C. `'(4x!1)^2

Page `'46
J'approfondis

`'85) On donne les expressions suivantes:
`'¨a"(2x-3)(4x-1);
`'¨b"(2x-3)^2!(2x-7)(6x-9).
`'1) a. Calculer `'¨a et `'¨b pour `'x"1,5.
b. Peut-on affirmer que les expressions `'¨a et `'¨b sont égales?
`'2) a. Développer et réduire les expressions `'¨a et `'¨b.
b. Peut-on affirmer que les expressions `'¨a et `'¨b sont égales?

`'86) On donne les expressions suivantes:
`'¨a"(5x-1)(3x-4);
`'¨b"(5x-1)^2-(2x!3)(5x-1).
`'1) Calculer `'¨a et `'¨b pour `'x"3.
`'2) Peut-on affirmer que les expressions `'¨a et `'¨b sont égales?
`'3) Démontrer que `'¨a"¨b.

`'87) On donne les expressions suivantes:
`'¨a"(3x!1)(7x-1)!29x^2!1!3(7x-4);
`'¨b"(5x!4)^2!(5x!4)(5x-7).
Démontrer que `'¨a"¨b.

`'88) On donne l'expression:
`'¨a"(4x-5)^2-(4x-5)(7x!8).
`'1) Développer et réduire l'expression `'¨a.
`'2) a. Factoriser l'expression `'¨a.
b. Développer et réduire la forme factorisée obtenue. Que doit-on retrouver?

`'89) `'1) Développer, puis réduire:
`'¨d"(a!5)^2-(a-5)^2.
`'2) Sans utiliser la calculatrice, trouver la valeur de:
a. `'10'005^2-9'995^2;
b. `'(7/4!5)^2-(7/4-5)^2

`'90) On donne l'expression:
`'¨t"6(6x-9)!4(3!5x)-6(11x-7).
Sans calculatrice et astucieusement, calculer la valeur de `'¨t:
pour `'x"638,529,
puis pour `'x"-11/2.

`'91) On donne `'ab"-3 et `'a!b"5.
Calculer les valeurs numériques de chacune des expressions suivantes:
a. `'¨x"(a!1)(b!1);
b. `'¨y"(a-1)(b-1);
c. `'¨z"(a!4)(b!4);
d. `'¨t"(a-2)(b-2).

`'92) Démontrer que `'(a-b)^2"(b-a)^2.
En déduire que `'(2x-3)^2"(3-2x)^2.

`'93) Factoriser chaque expression:
a. `'¨a"(x!1)^2-(x!7)^2;
Je reconnais une différence de deux carrés.
b. `'¨b"(2x!5)^2-(2x!3)^2;
c. `'¨c"(4x-7)^2-(3x!5)^2;
d. `'¨d"(2!5x)^2-(4x-1)^2.

`'94) Factoriser chaque expression:
a. `'¨a"5x^2-20;
Je mets d'abord `'5 en facteur.
b. `'¨b"3x^2-27;
c. `'¨c"28x^2-63;
d. `'¨d"8x^2-18.

`'95) Factoriser chaque expression:
a. `'¨a"3x^2!12x!12;
Je mets d'abord `'3 en facteur.
b. `'¨b"5x^2-30x!45;
c. `'¨c"4x^2-24x!36;
d. `'¨d"-12x^2!12x-3.

`'96) Factoriser chaque expression:
a. `'¨a"x^2/4-25/9;
b. `'¨b"(25a-15)!(10ab-6b);
c. `'¨c"-5x^2-60x-20;
d. `'¨d"(2x!1)^2-(x!7)^2.

`'97) On donne l'expression:
`'¨d"x^2!10x!25-(3x!4)^2.
`'1) Développer, puis réduire `'¨d.
`'2) Factoriser `'x^2!10x!25.
`'3) En déduire une expression factorisée de `'¨d.

`'98) On donne l'expression:
`'¨a"x^2-4x!4-z^2.
Factoriser `'¨a en utilisant successivement deux identités remarquables.

`'99) `'1) Factoriser chaque expression:
`'¨f"9x^2-48x!64;
`'¨g"(3x-7)^2-1.
`'2) On pose `'¨h"¨f!¨g. Factoriser `'¨h.

`'100) On donne l'expression:
`'¨a"(6x-4)(x!7)-(9x^2-4).
`'1) Développer et réduire `'¨a.
`'2) a. Factoriser `'6x-4.
b. Factoriser `'9x^2-4.
`'3) En déduire une expression factorisée de `'¨a.

`'101) On donne l'expression:
`'¨c"20x^2-60x!45-(2x-3)(x!7).
`'1) Développer et réduire `'¨c.
`'2) Factoriser `'20x^2-60x!45.
`'3) En déduire une expression factorisée de `'¨c.

`'102) Annexe `'3.
`'¨i¨j¨k¨l est un carré. On donne `'¨i¨a"9 `'cm. `'x désigne un nombre positif.
Chaque sommet du carré `'¨a¨b¨c¨d appartient à l'un des côtés du carré `'¨i¨j¨k¨l.
`'1) Exprimer en fonction de `'x l'aire du carré `'¨i¨j¨k¨l.
2) En déduire, en fonction de `'x, l'aire de `'¨a¨b¨c¨d.
Développer et réduire l'expression obtenue.

`'103) Annexe `'4.
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux cotés opposés parallèles appelés les bases du trapèze. Démontrer que l'aire d'un trapèze est donné par la formule:
`'¨a"(b!¨b)*„h/2;
Indice: je partage le trapèze en deux en traçant une diagonale.

`'104) On considère les figures `'1. à `'5. en annexe `'5.

`'1) Pour chaque trapèze, utiliser la formule de l'exercice précédent pour exprimer en fonction de `'x son aire. Développer et réduire chacune de ces expressions.
`'2) Déterminer en fonction de `'x une expression développée de la somme des aires des trois triangles.
`'3) Une fois assemblées correctement, ces cinq figures forment un carré.
a. Calculer, en fonction de `'x, l'aire de ce carré.
b. En déduire la longueur de son côté.
c. Dessiner le carré formé des cinq pièces.

Pour les exercices `'105 et `'106, la figure en annexe `'6 est formée de trois demi-cercles respectivement:
vert: grand cercle;
orange: cercle moyen;
violet: petit cercle.
Le diamètre du demi-cercle vert est `'20. Le diamètre du demi-cercle orange est `'x où `'x désigne un nombre positif inférieur à `'20.

`'105) `'1) Donner, en fonction de `'¤p et de `'x si nécessaire, une expression développée et réduite de la longueur de chacun des demi-cercles vert, orange et violet.
`'2) En déduire le périmètre de la figure.

`'106) `'1) Montrer que l'aire de la figure est `'100¤p-5¤px.
`'2) Calculer cette aire lorsque `'x"0, puis lorsque `'x"20.
À quelles figures correspondent chacun de ces résultats?

Page `'48
Devoir à la maison

`'107) On donne l'expression:
`'¨a"(2x-3)^2-(4x!7)(2x-3).
`'1) Développer et réduire l'expression `'¨a.
`'2) Factoriser l'expression `'¨a.
`'3) Calculer `'¨a pour `'x"0, `'x"-5, puis pour `'x"3/2.

`'108) `'¨b"4x(5x-2)!25x^2-4.
`'1) Développer et réduire l'expression `'¨b.
`'2) Factoriser `'25x^2-4.
En déduire une expression factorisée de `'¨b.

`'109) Démontrer les trois propositions suivantes dues à Viète, mathématicien du XVI^e siècle.
`'1) Le carré de la différence de deux nombres ajouté à quatre fois leur produit est égal au carré de leur somme.
`'2) Le double de la somme des carrés de deux nombres, diminué du carré de la somme de ces deux nombres, est égal au carré de leur différence.
`'3) Lorsque l'on divise la différence des carrés de deux nombres par la somme des nombres, on obtient leur différence.

`'110) Annexe `'7.
`'¨a¨e¨f¨g, `'¨a¨h¨i¨j et `'¨a¨b¨c¨d sont des carrés.
`'1) Calculer `'¨a¨h en fonction de `'x.
`'2) En déduire l'aire de la partie "violette" (texturée) en fonction de `'x.
`'3) Développer et réduire l'expression:
`'¨q"(4-x)^2-4.
`'4) Factoriser l'expression `'¨q.
`'5) Calculer l'expression `'¨q pour x"2.
Que traduit ce résultat pour la figure?

`'111) `'1) Démontrer que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres.
`'2) Démontrer que tout entier impair est la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs.

`'112) Annexe `'8.
`'¨a¨b¨c¨d est un carré de côté `'2a. Chaque côté du carré est le diamètre d'un demi-cercle.
Montrer que l'aire de la partie "colorée" (texturée) est `'(2n-4)a^2.

`'113) Annexe `'9.
`'Soit `'¨a¨b¨c un triangle rectangle isocèle en `'¨a tel que `'¨a¨b"5 `'cm.
On place un point `'¨e sur le segment `'à¨a¨bù tel que `'¨b¨e "x.
Sur la demi-droite `'à¨a¨c), on place un point `'¨f tel que `'¨c¤1à¨a¨fù et `'¨c¨f"x.
La droite `'(¨e¨f) coupe la droite `'(¨b¨c) en un point `'¨o.
La droite perpendiculaire à la droite `'(¨a¨b) passant par le point `'¨e coupe la droite `'(¨b¨c) en un point `'¨t.
Montrer que l'aire du triangle `'¨o¨t¨e est égale à l'aire du triangle `'¨o¨c¨f.