Triangle 3ème
Chapitre 2: Calcul numérique et puissances

Page 25
Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais...
Activités 1 Page 25. Effectuer des calculs sur les nombres décimaux relatifs.
a) Effectuer les calculs suivants.
`'¨a"(-6)!(-3)
`'¨b"(-6)*(-3)
`'¨c"(-6)-(-3)
`'¨d"(-6):(-3)
`'¨e"7-10,5
`'¨f"7-(-3)
`'¨g"-7,2-4
`'¨h"-8*(-5)
b) Effectuer les calculs suivants puis les vérifier avec une calculatrice.
`'¨m"(-5)!(-2)!5
`'¨n"1-7!3
`'¨p"4-3*2
`'¨t"(-4)*(-5!7)
`'¨u"4!8:(-2)
`'¨s"-2*5-5*3

Activité 2 Page 25. Effectuer des calculs sur les nombres fractionnaires.
a) Sans calculatrice, effectuer les calculs suivants.
`'¨a"3/5!6/5
`'¨b"5/12!4/3
`'¨c"5/18!1/12
`'¨d"3/5-6/5
`'¨e"7/4-(-„3/2;)
`'¨f"-„4/3;-3/5
`'¨g"„3/5;*„6/5;
`'¨h"„4/3;*(-„13/9;)*„6/-13;
`'¨i"-5*„7/15;
`'¨j"(-„55/6;)*(-„2/33;)
`'¨k"„3/5;:„4/7;
`'¨l"-„1/3;:(-„5/9;)
b) Avec une calculatrice, vérifier les calculs F, H, I et L.

Activité 3 Page 25. Effectuer des calculs simples avec des puissances.
a) Sans calculatrice, calculer.
(1) `'9^2; `'2^3; `'3^4; `'7^0; `'5^1
(2) `'(-3)^2; `'-3^2
(3) `'10^3; `'10^-1; `'10^5; `'10^0; `'10^-2
(4) `'5^-1; `'2^-3
b) Avec une calculatrice, calculer.
`'(-45)^2; `'-45^2; `'(-2)^33; `'(-3)^5; `'-3^5
c) Écrire en notation scientifique.
`'x"634000000
`'y"0,000000000456
`'z"0,0521*10^4
`'t"15*10^-2

Page 27-28 Calculer avec des puissances
Activité 3 Page 27. Produits de puissances
a) Parmi les réponses proposées pour le calcul de A, quelle est la bonne réponse? Justifier.
`'¨a"2^5*2^3
(1): `'¨a"2^15
(2): `'¨a"4^15
(3): `'¨a"2^8
(4): `'¨a"2^15
b) Écrire sous la forme d'une puissance.
`'¨b"0,5^2*0,5^4
`'¨c"3^21*3^12
`'¨d"(-2)^2*(-2)^3
`'¨e"(1/3)^4*(1/3)^2
c) Écrire sous la forme d'une puissance: `'¨f"a^n*a^m où a est un nombre relatif et n et m sont des nombres entiers positifs.

Activité 4 Page 27 Quotients de puissances
a) Écrire sous la forme d'une puissance.
`'¨g"2^9/2^4
`'¨h"0,3^5/0,3^2
`'¨i"(-2)^5/(-2)^3

b) Écrire sous la forme d'une puissance: `'¨j"a^n/a^m où a est un nombre relatif et n et m sont des nombres entiers positifs tels que `'n´@m.

Activité 5 Page 27 Puissances de même exposant.
a) Parmi les réponses proposées pour le calcul K, quelle est la bonne réponse? Justifier.
`'¨k"2^5*3^5
(1): `'5^10
(2): `'6^5
(3): `'6^10
(4): `'6^25

b) Écrire sous la forme d'une puissance:
`'¨l"3^2*5^2
`'¨m"4^3/5^3
`'¨n"0,5^6*2^6

c) Écrire sous la forme d'une puissance: `'¨p"a^n*b^n et `'¨r"a^n/b^n où a et b sont des nombres relatifs (`'b¨"0) et n est un nombre entier positif.

Activité 6 Page 27 Puissances de puissances
a) Écrire sous la forme d'une puissance:
`'¨s"(10^2)^4
`'¨t"(4^3)^2
`'¨u"(0,1^2)^2
b) Écrire sous la forme d'une puissance: `'¨v"(a^n)^m où a est un nombre relatif et n et m sont des nombres entiers positifs.

Activité 7 Page 28 Feu d'artifice
Indiquer, parmi les égalités laquelle (ou lesquelles) on peut appliquer pour écrire sous forme d'une puissance le résultat des calculs suivants.
(1): `'a^m*a^n"a^„m!n;
(2): `'a^m/a^n"a^„m-n;
(3): `'a^n*b^n"(a*b)^n
(4): `'(a^m)^n"a^„m*n;
(5): `'a^n/b^n"(a/b)^n

a) `'2^3*5^3
b) `'(3^5)^2
c) `'60^5/6^5
d) `'5^3*5^4
e) `'4^2*4^2
f) `'5^6/5^2
g) `'2^5*(3^4)^2*2^3

Activité 8 Page 28 Puissances d'exposants négatifs
Écrire sous la forme d'une puissance.
`'¨a"2^-3*2^-1
`'¨b"3^5*3^-4
`'¨c"5^3/5^7
`'¨d"2^-5/2^-2
`'¨e"5^-3*2^-3
`'¨f"(10^-3)^-2

Page 31 Réactiver les connaissances
Exercice 5 Page 31 Calculer.
`'¨s"a!b
`'¨d"a-b
`'¨p"a*b
`'¨q"a:b
a) pour `'a"12 et `'b"-20
b) pour `'a"-30 et `'b"-3
c) pour `'a"5,6 et `'b"-4
d) pour `'a"-3,2 et `'b"-3,2

Exercice 6 Page 31
a) Calculer.
`'¨a"-2-6!1
`'¨b"4-(-5)-3
`'¨c"5-1,5-5
`'¨d"-2!8-3,5
b) Vérifier que `'¨a!¨b!¨c!¨d"0.

Exercice 7 Page 31
a) Calculer.
`'¨a"(5!5)*2
`'¨b"-2*4-2*(-9)
`'¨c"4,5*2-2*5
`'¨d"16!5*(-2)!16:(-2)
b) Vérifier que: `'¨a"¨b*¨c*¨d

Exercice 8 Page 31
a) Calculer:
`'¨a"-2*(-5)-3*(-4)
`'¨b"7*(-4)-(-2)*12
`'¨c"-5!(-8!2)*0,5
`'¨d"à5*(-10)-3*20ù:à2*(-5)ù
b) Vérifier que: `'¨a*¨b"¨c*¨d

Exercice 9 Page 31
Avec une calculatrice:
a) donner l'arrondi au centième de `'x"(-16):(-7) et `'y"52:(-0,39)
b) donner l'encadrement au dixième de x et de y.

Exercice 10 Page 31
Avec une calculatrice, calculer
`'¨a"-24!32-16:(-4).
`'¨b"-24!(32-16):(-4)
`'¨c"-(24!32-16):(-4)

Exercice 11 Page 31 Calculer et donner le résultat sous forme fractionnaire.
a) `'¨a"7/6!1/9
`'¨b"1/2!1/3
`'¨c"10/9!1
b) Avec une calculatrice, vérifier que: `'¨a!¨b"¨c

Exercice 12 Page 31 Calculer et donner le résultat sous forme fractionnaire.
a) `'¨a"7/5-4/5
`'¨b"-„3/20;-4/12
`'¨c"1,7/15-1,1/5
b) Avec une calculatrice, vérifier que: `'¨a!¨b!¨c"1/100

Exercice 13 Page 31 Calculer et donner le résultat sous forme fractionnaire.
a) `'¨a"„3/4;*„5/4;
`'¨b"„3/7;*(-„7/9;)
`'¨c"4*(-„4/5;)
b) Avec une calculatrice, vérifier que: `'¨a*¨b*¨c"1

Exercice 14 Page 31 Calculer et donner le résultat sous forme fractionnaire.
a) `'¨a"-„5/7;*„7/3;
`'¨b"„0,5/6;*„6/1,5;
`'¨c"(-„25/75;)*„60/36;
b) De tête, vérifier que: `'¨a*¨b"¨c

Exercice 15 Page 31 Calculer et donner le résultat sous forme fractionnaire.
a) `'¨a"„4/3;:„7/3;
`'¨b"„0,5/6;:„1,5/6;
`'¨c"„4/7;:3
3 3 B= 6 6 C= 7=3
b) De tête, vérifier que: `'¨a*¨b"¨c

Exercice 19 Page 31
Calculer.
a) `'(-2)^3
b) `'-5^2
c) `'(-4)^3
d) `'-4^3
e) `'(-5)^2
f) `'-2^3

Exercice 20 Page 31
Calculer.
a) `'10^3
b) `'10^5
c) `'10^-2
d) `'10^-4
e) `'10^0
f) `'10^4

Exercice 21 Page 31
En utilisant une calculatrice, calculer.
a) `'24^6
b) `'-23^3
c) `'(-15)^5
d) `'0,9^4

Exercice 22 Page 31
Calculer.
a) `'10^-3
b) `'2^-2
c) `'8^-1
d) `'5^-2

Exercice 23 Page 31
a) Calculer `'2^4 et `'4^2.
b) Calculer `'10^2!11^2!12^2 et `'13^2!14^2.

Exercice 24 Page 31
a) Calculer `'3^4*425.
b) Calculer `'2^5*9^2.

Exercice 25 Page 31
Écrire en notation scientifique.
a) 3456000
b) 0,000678
c) 456784
d) 0,000000054
e) `'5678*10^2
f) `'0,078*10^-2

Page 32 Connaître les nombres
Exercice 26 Page 32
Parmi les nombres suivants: `'1/4; `'5/3; `'-3/1; `'-1/6; `'-„12/3;; `'15/5
a) lesquels sont des nombres entiers?
b) lesquels sont des nombres décimaux?
c) lesquels ne sont pas des nombres décimaux?
d) lesquels ne sont pas des nombres rationnels?

Exercice 27 Page 32
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) Le quotient d'un nombre entier par 100 est toujours un nombre décimal.
b) le quotient d'un nombre entier par 3 est toujours un nombre décimal.
c) Le quotient d'un nombre entier par 3 est toujours un nombre rationnel.

Exercice 28 Page 32
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) L'opposé d'un nombre entier est un nombre entier.
b) L'inverse d'un nombre entier est un nombre entier.
c) L'inverse d'un nombre rationnel peut être un nombre entier.

Exercice 29 Page 32
Dans chacun des cas suivants, dire si la solution de l'équation est un nombre entier, décimal ou rationnel.
a) `'x-2"0
b) `'x!5"0
c) `'2x"-24
d) `'-2x"13
e) `'2x"-1
f) `'3x"7

Exercice 30 Page 32
Parmi les nombres suivants: `'4/3; `'-„21/2;; `'5/3; `'2/21
a) trouver deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.
b) trouver deux nombres rationnels dont le produit est un nombre décimal.
c) trouver deux nombres rationnels dont le quotient est un nombre entier.

Exercice 31 Page 32
a) On sait que z est un nombre compris entre 0 et 1. z peut-il être un nombre:
a) entier?
b) décimal?
c) rationnel?

Exercice 32 Page 32
a) Trouver un nombre décimal compris entre 2,14 et 2,15.
b) Trouver un nombre décimal compris entre -0,2 et -0,1.
c) Trouver un nombre décimal compris entre `'10^-6 et `'10^-5.

Exercice 33 Page 32
Écrire, si possible:
a) le nombre entier qui suit 1.
b) le nombre décimal qui suit 1.

Calculer des puissances
Exercice 34 Page 32 Écrire, si possible, sous la forme `'a^n en utilisant les propriétés étudiées dans ce chapitre.
`'¨a"3^5*3^2
`'¨b"10^7*10^22
`'¨c"7^2*7
`'¨d"(-2)^3*(-2)^4
`'¨e"(0,2)^4*(0,2)^5
`'¨f"(2/3)^2*(2/3)^2

Exercice 35 Page 32 Écrire, si possible, sous la forme `'a^n en utilisant les propriétés étudiées dans ce chapitre.
`'¨a"13*13^2*13^3
`'¨b"(-4)^2*(-4)^3*(-4)^5
`'¨c"7^4!7^2!7^3
`'¨d"(1,2)^4*(1,2)^6*(1,2)^2

Exercice 37 Page 32
Compléter:
a) `'7^10"7^2*7^…
b) `'5^…*5^3"5^7
c) `'3^5"3*3^…

Exercice 38 Page 32
Les produits suivants sont-ils positifs ou négatifs?
`'¨a"=(-1)^2*(-1)^3*(-1)*(-1)^4*(-1)^5
`'¨b"(-2)^4*(-2)^2*(-2)^3*(-2)^2*(-2)^7

Exercice 39 Page 32
a) Calculer `'x"2^6*3^2 et `'y"2^2*3^4
b) Sachant que `'576*324"186624, écrire `'186624 sous la forme `'2^n*3^m (où n et m sont entiers).

Exercice 40 Page 32
Écrire xy sous la forme `'2^n*5^m (où n et m sont entiers).
a) pour `'x"2^3*5^2 et `'y"2^2*5^4
b) pour `'x"2^4 et `'y"2*5^6
c) pour `'x"2*5^3 et `'y"2^4*5^3
Si vous avez trouvé 3 fois le même résultat, bravo! Sinon, vérifiez vos calculs.

Page 33
Exercice 41 Page 33
Donner l'écriture scientifique de xy
a) pour `'x"4,2*10^21 et `'y"1,3*10^14
b) pour `'x"2,56*10^8 et `'y"3,9*10^13

Exercice 42 Page 33
Écrire sous la forme `'a^n.
`'¨a"2^5/2^3
`'¨b"3^8/3^4
`'¨c"(-5)^6/(-5)^2
`'¨d"17^5/17^5

Exercice 43 Page 33 Écrire sous la forme `'a^n.
`'¨a"7^4/7
`'¨b"0,2^7/0,2^3
`'¨c"8^5:8^2
`'¨d"(-3)^8:(-3)^6

Exercice 45 Page 33
Compléter
a) `'3^5/3^…
b) `'5^…/5^8
c) `'7^3/7^…
d) `'6^…/6^4"6^4

Exercice 46 Page 33
Écrire `'x/y sous la forme d'un produit de puissances.
a) pour `'x"2^7*5^9 et `'y"2^2*5^3
b) pour `'x"2^9*3^2*5^4 et `'y"2^2*5^3

Exercice 48 Page 53 Écrire sous la forme `'a^n.
`'¨a"3^5*7^5
`'¨b"5^4*6^4
`'¨c"(-2)^3*(-5)^3
`'¨d"2^3*2^3
`'¨e"45^3/9^3
`'¨f"(1/2)^3*(1/4)^3

Exercice 49 Page 33
`'¨a"5^8*3^8*2^8*10^8
`'¨b"0,5^3*7^3*2^3
`'¨c"34^4/68^4
`'¨d"3^4*(1/3)^4

Exercice 50 Page 33
`'¨a"2^2*9
`'¨b"10^3/8
`'¨c"4^2*25
`'¨d"64*5^2
`'¨e"1000/5^3
`'¨f"36*49

Exercice 52 Page 33
Calculer xy:
a) pour `'x"20^3 et `'y"5^3
b) pour `'x"2^2*3 et `'y"2^3*3^4

Exercice 54 Page 33
Combien de chiffres comporte le produit `'¨p"2^100*5^100?

Exercice 55 Page 33
Compléter.
a) `'(2^5)^3"2^…
b) `'(3^2)^4"3^…
c) `'(4^3)^2"4^…
d) `'(5^2)^4"5^…

Exercice 57 Page 33
Compléter
a) `'((-2)^5)^3"(-2)^…
b) `'(0,25^2)^3"(…)^6
c) `'((4/3)^2)^3"(4/3)^…

Exercice 61 Page 33
À côté de chaque calcul, écrire la propriété qui permet d'écrire le résultat sous la forme d'une puissance.
a) `'4^5*3^5
b) `'2^12*2^5
c) `'8^5:8^2
d) `'5^12/5^7
e) `'(5^2)^3
f) `'8^3/2^3

Exercice 62 Page 33
Écrire, si possible, sous la forme `'a^n.
`'¨a"5^3*5^7
`'¨b"11^5*3^5
`'¨c"4^5!6^5
`'¨d"3^5*5^3
`'¨e"(-6)^4*(-6)^5
`'¨f"7*7^5
`'¨g"4^7/4^5
`'¨h"14^4/2^4
`'`'¨i"9^4*5^4

Page 34
Exercice 63 Page 34 Écrire, si possible, sous la forme `'a^n.
`'¨a"4^7*4
`'¨b"3^2!3^5
`'¨c"5^6*7^6
`'¨d"0,5^2*3^2
`'¨e"(-2)^2*(-3)^2
`'¨f"(1/3)^5*(1/3)^2
`'¨g"12^5/6^5
`'¨h"15^6/15^2

Exercice 65 Page 34 Écrire, si possible, sous la forme `'a^n.
`'¨a"„5^5*5^2;/(5^2)^2
`'¨b"(6^7*2^7)^2
`'¨c"(2/3)^2*(5/7)^2
`'¨d"(3^5)^3/4^15
`'¨e"„2^6*5^6;/10^5
`'¨f"„0,8^9*5^9;/„4^2*4^3;

Exercice 66 Page 34
Sachant que `'2^10"1024, quels sont les calculs qui ne sont pas égaux à 1024?
`'¨a"2^6*2^4
`'¨b"(2^5)^5
`'¨c"2^7*2^3
`'¨d"(2^2)^5
`'¨e"2^12/2^2
`'¨g"0,5^10*4^10
`'¨h" le double de `'2^9
`'¨i" la moitié de `'2^11

Exercice 67 Page 34
Écrire, si possible, sous la forme `'a^n.
`'¨a"2^-5*2^3
`'¨b"(3^5)^-2
`'¨c"7^-5*7^5
`'¨d"5^8/5^-11
`'¨e"6^-3/6^2
`'¨f"4^-5*25^-5

Exercice 68 Page 34 Écrire, si possible, sous la forme `'a^n.
`'¨a"5^-7*„1/5^5;
`'¨b"„1/2^-3;*„2^4/2^2;
`'¨c"(2^5)^2-(2^2)^5

Exercice 70 Page 34
Calculer xy et `'x/y:
a) pour `'x"2^5*5^-2 et `'y"2^-3*5
Donner le résultat sous forme de produit de deux puissances.
b) pour `'x"2,5*10^5 et `'y"2*10^7
Donner l'écriture scientifique du résultat.

Exercice 71 Page 34
a) effectuer les calculs en indiquant les étapes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
b) vérifier les résultats avec une calculatrice.
`'¨a"(-4!3*„2/7;):„3/14;
`'¨b"6/„60/7;
`'¨c"„6/60;/7
`'¨d"(3/2)^2-„3/2;*(-„5/2;)

Exercice 72 Page 34
a) effectuer les calculs en indiquant les étapes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.
b) vérifier les résultats avec une calculatrice.
`'¨e"„„1-1/3;/3;*„3/4;-1/5
`'¨f"5/6-„7/6„*„1/14;!3/14
`'¨g"„1/2!5/8;/„1/2-5/8;
`'¨h„„27/28;/-9;:(-„1/30;)

Exercice 75 Page 34 Au brevet
On donne:
`'¨a"1/3!„5/6;:„3/2; et `'¨b"„5*10^2*7*10^-5;/„2*10^7;
a) Calculer A en détaillant les étapes du calcul. Donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
b) Calculer B et donner son écriture scientifique en détaillant les étapes du calcul.

Exercice 76 Page 34
a) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
`'¨a"1/9-„15/9;*„1/6;
b) Donner les écritures décimale et scientifique de B:
`'¨b"„3*10^2*1,2*(10^-3)^4;/„0,2*10^-7;

Exercice 79 Page 35
On considère les deux expressions:
`'¨a"(3/5-1/2)*„5/2; et `'¨b"„16*10^-1*2;/„(10^3)^2*10^-8*80;
a) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible
b) Vérifier que B est un nombre entier.
Écrire les étapes de calcul.
c) Brice affirme que "A est l'opposé de B".
Est-ce vrai? Justifier.

Exercice 80 Page 35
Anna décide d'aller de Niort à Poitiers en 3 jours de marche.
Le premier jour, elle parcourt les `'3/8 du trajet.
Le deuxième jour, elle parcourt les `'4/5 de la distance parcourue le premier jour.
Quelle distance lui reste-t-il à parcourir le troisième jour?

Exercice 81 Page 35
Dans un laboratoire de recherche, `'4/5 des chercheurs sont des femmes. Il y a 24 femmes dans ce laboratoire.
Combien de chercheurs compte ce laboratoire?
Info: Devenir chercheur en sciences
Le chercheur explore de nouvelles voies, cherche à résoudre de nouveaux problèmes.
Il formule des hypothèses, les vérifie. Grand spécialiste de son domaine, il travaille dans des laboratoires publics ou privés. Il participe à des colloques internationaux pour s'informer et faire connaître ses travaux. C'est grâce aux chercheurs que les connaissances évoluent dans tous les domaines et que notre vie quotidienne s'améliore. Pour être chercheur, il faut un master (bac `'!5) et 3 ou 4 ans de recherche pour rédiger une thèse qui donne un doctorat.

Exercice 83 Page 35
Une bonbonne d'eau est pleine aux deux tiers. Zahia la vide en remplissant 8 bouteilles de`'3/2 L d'eau. Quelle est la contenance de cette bonbonne lorsqu'elle est entièrement pleine?

Exercice 84 Page 35
La piscine municipale de Peyrus est ouverte en juillet et en août.
"Cet été, dit la maire, `'2/5 des entrées se sont faites en juillet. En août, nous avons compté 4500 entrées."
a) Combien y a-t-il eu d'entrées au cours des deux mois?
b) Combien y a-t-il eu d'entrées à la piscine de Peyrus en juillet?

Page 86
Exercice 86 Page 36
Dans les deux cas suivants, le triangle ABC est-il rectangle? Les longueurs sont données en cm.
a) `'¨a¨b"3/8
`'¨a¨c"5/8
`'¨b¨c""1/2
b) `'¨a¨b"2^3
`'¨a¨c"2^3
`'¨b¨c^2"2^7

Exercice 87 Page 36
Voir DER la figure.
Calculer BD, AE et DE dans les deux cas suivants.
a) `'¨a¨b"10/9 cm, `'¨a¨c"56/9 cm, `'¨a¨d"3 cm et `'¨e¨c"28/5 cm.
b) `'¨a¨b"3^3 mm; `'¨a¨c"3^5 mm, `'¨a¨d"3^4 mm et `'¨e¨c"3^3 mm.

Page 39 Exercices d'approfondissement
Exercice 111 Page 39 Voici un problème.
Trouver tous les nombres, a, n et m tels que `'(a^n)^m"64.
Cherchez ce problème et racontez par écrit les différentes étapes de votre recherche, les observations, les calculs qui vous ont fait progresser ou changer d'avis, même si vous n'avez pas trouvé la solution complète. Si vous avez trouvé une solution, expliquez-la comme si vous aviez à convaincre un camarade.

Exercice 115 Page 39 Problème ouvert
a) Trouver, si possible, deux entiers positifs distincts a et b tels que: `'1"1/a!1/b
b) Trouver, si possible, trois entiers positifs distincts a, b et c tels que: `'1"1/a!1/b!1/c
c) Trouver, si possible, quatre entiers positifs distincts a, b, c et d tels que: `'1"1/a!1/b!1/c!1/d