Triangle `'3^ème
Chapitre 1: Arithmétique et fractions

Page 7 Je fais le point sur mes connaissances
Est-ce que je sais...
Activité 1 Page 7
Trouver des multiples et des diviseurs d'un nombre
a) Écrire tous les multiples de 15 inférieurs à 100.
b) Voici 5 nombres: 2010; 595; 135; 140; 34; 43
Parmi ces nombres, trouver ceux qui sont divisibles: (1) par 2. (2) par 5. (3) par 3. (4) par 4. (5) par 7. (6) par 9.
c) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
(1) 3 est un diviseur de 103.
(2) 495 est un multiple de 9.
(3) 385 est un multiple de 11.
(4) 11 est un diviseur de 132.
(5) 4 est un diviseur de 1036.
(6) 114 est un multiple de 7.

d) Une feuille de calcul programmée sur un tableur permet d'afficher les 100 premiers multiples d'un nombre.
(1) Yvan a écrit "1" dans la cellule A1. Dans la cellule A2, il écrit une formule qu'il copie ensuite dans les cellules A3 à A100 afin de faire afficher les nombres entiers de 1 à 100. Quelle est cette formule?
(2) Yvan a écrit "52" dans la cellule E1. Dans la cellule E2, il écrit une formule qu'il copie ensuite dans les cellules E3 à E100 afin de faire afficher les 100 premiers multiples non nuls de 52. Quelle est cette formule?

Activité 2 Page 7 Écrire une fraction égale à une fraction donnée:
a) Compléter les égalités:
(1) `'7/12"…/36
(2) `'34/36"…/18
(3) `'35/42"…/30

b) Simplifier le plus possible les fractions suivantes:
(1) `'4/8 et `'6/3
(2) `'-9/12 et `'-10/15
(3) `'¨a"„2*3*7;/„3*5*7;
`'¨b"„6*(-5)*2;/„12*(-3);
`'¨c"„5!2;/„5!3;

c) Avec la calculatrice, simplifier, si possible, les fractions suivantes. 
(1) `'888/962
(2) `'252/396
(3) `'450/1680

Activité 3 Page 9 Simplifier une fraction - PGCD
a) Les fractions `'500/350 et `'48/60 ne sont pas irréductibles (voir la définition p. 13). Expliquer pourquoi.
b) On veut rendre ces fractions irréductibles en les simplifiant par un seul nombre (et sans utiliser de calculatrice).
Par quel nombre faut-il simplifier `'500/350 pour trouver une fraction irréductible?
c) Anna passe au tableau pour expliquer sa méthode pour simplifier `'48/60.
Anna: "Maintenant, je sais par quel nombre il faut simplifier `'48/60 pour trouver une fraction irréductible.
Les diviseurs de 48 sont: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48
Les diviseurs de 60 sont: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60"
(1) Quel est le nombre dont parle Anna?
(2) Énoncer une méthode qui semble permettre de simplifier une fraction pour la rendre irréductible.
(3) Appliquer cette méthode et simplifier la fraction.

Page 16
Exercice 7 Page 16 vrai ou faux?
a) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
(1) 45 est un multiple de 5.
(2) 448 est un multiple de 56.
(3) 958 est un multiple de 8.
b) Écrire tous les multiples de 9 compris entre 100 et 150.

Exercice 8 Page 16
Dans le tableau suivant, trouver le nombre qui n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 9.
On a un tableau: 
Ligne 1: 112; 213; 623
Ligne 2: 2761; 1278; 535

Exercice 9 Page 16 Vrai ou faux?
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) Si un nombre impair est divisible par 5 alors ce nombre se termine par 0.
b) Si un nombre impair est divisible par 5 alors ce nombre se termine par 5.
c) Si un nombre impair est divisible par 5 alors la somme des chiffres de ce nombre est divisible par 5.

Exercice 10 Page 16
Trouver un nombre compris entre 121 et 139 qui soit divisible à la fois par 5 et par 3.

Exercice 11 Page 16
Par quel chiffre faut-il compléter le nombre 2…5 pour qu'il soit divisible:
a) par 9?
b) par 5?

Exercice 12 Page 16
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) 12 est un diviseur de 180.
b) 14 est un diviseur de 114.
c) 69 est un diviseur de 552.

Exercice 14 Page 16
Compléter les égalités suivantes.
a) `'2/15"…/45
b) `'25/30"…/6
c) `'42/54"7/…

Exercice 15 Page 16
Compléter les égalités suivantes.
a) `'26/39"74/…
b) `'35/65"…/117
c) `'77/91"…/78

Exercice 19 Page 16
Simplifier le plus possible.
`'¨a"„2*9*11;/„2*11*13;
`'¨b"„(-3)*5*7;/„3*(-5)*2;
`'¨c"„(-5)*12;/„2*5*(-6);
`'¨d"„7*3!2;/„7!3*2;

Page 17 Trouver les diviseurs d'un nombre
Nombres premiers
Exercice 21 Page 17
Trouver tous les diviseurs des nombres suivants: 8; 12; 21; 26.

Exercice 22 Page 17
a) Trouver tous les diviseurs des nombres suivants: 20; 28; 32; 45; 50; 52.
b) Vérifier que tous ces nombres ont 6 diviseurs.

Exercice 24 Page 17
a) (1) Trouver tous les diviseurs de 44 et 65. (2) Calculer la somme des diviseurs de chacun des nombres. Si vous trouvez le même nombre: bravo! Sinon, vérifiez les calculs.
b) Mêmes questions avec 99 et 125.

Exercice 25 Page 17
Trouver, si possible, le nombre dont les diviseurs sont:
a) 1; 27; 9; 81; 729; 243; 3.
b) 1; 2; 3; 11.

Exercice 26 Page 17
Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses?
a) Si un nombre est pair alors il a un nombre pair de diviseurs.
b) Plus un nombre est grand et plus il a de diviseurs.

Exercice 28 Page 17
Parmi les nombres suivants, quels sont les nombres premiers? 13; 18; 81; 89.

Exercice 30 Page 17
Trouver si possible:
a) un nombre premier divisible par 3.
b) un nombre entier dont le double est un nombre premier.
c) un nombre entier dont la moitié est un nombre premier.

Page 18
Exercice 36 Page 18 vrai ou faux?
a) 4 est le PGCD de 8 et 20.
b) 2 est le PGCD de 20 et 9.
c) 56 est le PGCD de 7 et 8.
d) 4 est le PGCD de 88 et 44.

Exercice 37 Page 18
Trouver deux nombres dont le PGCD est 9.

Exercice 42 Page 18
Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant la méthode de votre choix.
a) 216 et 126.
b) 54 et 108.
c) 96 et 84.
d) 252 et 132.
e) 72 et 78.
f) 1029 et 1050.

Exercice 44 Page 18
Dans chacun des cas suivants, indiquer si les nombres donnés sont premiers entre eux. Justifier.
a) 21 et 45.
b) 55 et 18.
c) 6 et 723.
d) 12 et 16.

Exercice 45 Page 18
Trouver tous les nombres entiers premiers avec 15 et inférieurs à 15.

Exercice 46 Page 18
a) Calculer le PGCD de 325 et 724 avec l'algorithme d'Euclide.
b) Les nombres 325 et 724 sont-ils premiers?
c) Les nombres 325 et 724 sont-ils premiers entre eux?

Exercice 47 Page 18
Les nombres 15632 et 1727 sont-ils premiers entre eux?

Exercice 48 Page 18 AU BREVET
a) Trouver le PGCD de 6209 et 4435 en détaillant la méthode.
b) En utilisant le résultat de la question précédente, expliquer pourquoi la fraction `'4435/6209 n'est pas irréductible.
c) Donner la fraction irréductible égale à `'4435/6209.

Exercice 49 Page 18
a) Calculer le PGCD des nombres entiers 1356 et 4972
(Faire apparaître les calculs intermédiaires sur la copie.)
b) Donner la forme irréductible de la fraction `'1356/4972

Page 19 Résoudre des problèmes
Exercice 51 Page 19
Un fleuriste dispose de 126 iris et 210 roses.
Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d'iris et le même nombre de roses.
Justifier toutes les réponses aux questions ci-dessous.
a) (1) Le fleuriste peut-il réaliser 15 bouquets? (2) Peut-il réaliser 14 bouquets?
b) (1) Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser?
(2) Donner la composition de chacun d'eux.

Exercice 52 Page 19
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Étant très généreux, et ayant surtout très peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
a) Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant inclus dans ces personnes!)?
Expliquer votre raisonnement.
b) Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne?

Exercice 53 Page 19
a) Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
b) Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
(1) Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur.
(2) Combien faudra-t-il alors de carreaux?

Page 20
Exercice 56 Page 20
Pour fêter la nouvelle année, des grands parents annoncent à leurs petits enfants qu'ils donnent 525 `'¤e à partager entre tous leurs petits fils et 450 `'¤e à partager entre toutes leurs petites filles.
Rassurez-vous, chacun des petits enfants reçoit ainsi la même somme: un nombre entier d'euros supérieur à 50.
a) Quelle est cette somme?
b) Combien ces grands parents ont-ils de petits fils et de petites filles?

Exercice 57 Page 20
On veut placer des points sur le segment `'à¨a¨bù et sur le segment `'à¨b¨cù de telle sorte que:
-la distance entre deux points soit un nombre entier de millimètres, le plus grand possible.
-les distances entre deux points soient toutes égales.
Figure non transcrite: On a un segment `'à¨a¨cù"à¨a¨bù!à¨b¨cù où `'à¨a¨bù"117 mm et `'à¨b¨cù"65 mm
a) Quelle est la distance entre deux points?
b) Combien de points place-t-on sur `'à¨a¨bù et sur `'à¨b¨cù?

Exercice 58 Page 20
a) Les nombres palindromes suivants sont-ils divisibles par 7?
77; 161; 252; 959; 1001
2002; 2772; 4774, 5005
b) Tous les nombres palindromes sont-ils divisibles par 7?

Info: Les palindromes
Les palindromes sont des mots ou des nombres ou des phrases qui se lisent "dans les deux sens" comme: radar, été, 2002, 686.
Engage le jeu que je le gagne
Was it a car or a cat I saw?
Rechercher des sites internet qui leur sont consacrés.

Exercice 59 Page 20
Stéphane a écrit tous les diviseurs d'un nombre. Voici ce qu'il a trouvé ainsi que le commentaire de son professeur:
"Les diviseurs sont: 1; 2; 4; 8; 10; 16; 20; 40" Correction du professeur: "Faux il en manque".
Quels sont les diviseurs qui ont été oubliés et de quel nombre Stéphane a-t-il cherché les diviseurs?

Page 23 Résoudre des problèmes
Exercice 81 Page 23
Quel est le plus petit nombre ayant:
(1) 2 diviseurs?
(2) 3 diviseurs?
(3) 4 diviseurs?
(4) 10 diviseurs?

Exercice 83 Page 23
Voici un problème.
Quels sont les nombres qui ont un nombre pair de diviseurs?
a) Chercher ce problème.
b) Raconter par écrit les différentes étapes de votre recherche, les observations, les calculs qui vous ont fait progresser ou changer d'avis, même si vous n'avez pas trouvé la solution complète. Si vous avez trouvé une solution, expliquez-la comme si vous aviez à convaincre un camarade.

Exercice 84 Page 23
Un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs à l'exception de lui-même. Vérifier que les nombres suivants sont parfaits: 6; 28; 496 et 8128.

Page 24
Exercice 93 Page 24
Un parallélépipède rectangle de dimensions 60 cm, 36 cm et 24 cm est rempli exactement par des cubes dont l'arête mesure un nombre entier de centimètres.
a) Quelle peut être l'arête des cubes?
b) Quel est dans chacun des cas, le nombre de cubes contenus dans la boîte.

Exercice 94 Page 24
Avant de commencer une partie, les joueurs se partagent exactement 180 jetons à 5 points et 170 jetons à 1 point.
Combien peut-il y avoir de joueurs?