Prisme 3ème. Chapitre 5: racines carrées.

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Exercices.
69) Figure en annexe 1.
1. a. Calculer la valeur exact de la longueur de la diagonale d'un carré `'¨d¨e¨f¨g de côté 3 cm.
b. Généraliser le calcul précédent pour un carré `'¨d¨e¨f¨g de côté `'a.
2. a. Calculer la valeur exacte de la longueur de la diagonale d'un carré `'¨d¨e¨f¨g de côté `'2@2 cm.
b. Calculer le périmètre `'¨´p et l'aire `'¨´a de ce carré.
c. Calculer la longueur du cercle circonscrit au carré `'¨d¨e¨f¨g.
3. Un carré a pour aire 48 `'cm^2. Quelle est la longueur de ses côtés? De ses diagonales?

72. Figure en annexe 2.
`'¨a¨b¨c¨d est un carré de côté `'x cm. `'¨e¨c¨f est un triangle rectangle en `'¨c tel que: `'¨c¨f"4 cm.
1. a. Exprimer, en fonction de `'x, l'aire `'¨´a du carré `'¨a¨b¨c¨d. b.
b. Calculer `'¨´a pour `'x"2!@2.
2. On considère que `'x´@1 cm et `'¨b¨e"0,5 cm.
a. Exprimer, en fonction de `'x, l'aire `'¨´a' du triangle `'¨e¨c¨f.
b. Exprimer `'¨´a!¨´a', en fonction de `'x.
3. Calculer `'¨´a!¨´a' pour `'x"2!@2.

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84. Figure en annexe 3.
`'¨a¨b¨c¨d¨e¨f est un prisme droit à base triangulaire tel que: `'¨a¨b¨b¨c"4 cm, `'¨a¨d"2 cm et `'¤:¨a¨b¨c"90´o.
1. Vérifier par calcul que la longueur `'¨a¨c"4@2 cm.
2. En déduire la valeur exacte de l'aire de la face `'¨a¨c¨f¨d puis l'arrondir au `'mm^2.

85. `'¨a¨b¨c est un triangle tel que: `'¨a¨b"16 cm, `'¨a¨c"14 cm et `'¨b¨c"8 cm.
1. a. Tracer en vraie grandeur le triangle `'¨a¨b¨c.
b. Le triangle `'¨a¨b¨c est-il rectangle? Justifier.
2. Le mathématicien Héron d'Alexandrie (Ier siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle. En notant `'a, `'b, `'c les longueurs des trois côtés et `'p son périmètre, l'aire `'¨´a du triangle est donnée par la formule:
`'¨´a"@„„p/2;(„p/2;-a)( ;(„p/2;-b)( ;(„p/2;-c);
Calculer l'aire du triangle`'¨a¨b¨c. Donner le résultat au `'cm^2 près.

86. `'¨a¨b¨c est un triangle tel que: `'¨a¨b"6 cm, `'¨b¨c"10 cm et `'¨a¨b¨c"120´o.
La hauteur issue de `'¨a coupe la droite `'(¨b¨c) au point `'¨h.
1. Tracer la figure en vraie grandeur.
2. a. Calculer la mesure de l'angle `'¨a¨b¨h.
En déduire que `'¨b¨h"3 cm.
b. Prouver que `'¨a¨h"3@3 cm, puis calculer l'aire du triangle `'¨a¨c¨h. On donnera la valeur exacte.
c. Prouver que `'¨a¨c"14 cm.
3. a. `'¨m est un point du segment `'à¨b¨cù tel que `'¨c¨m"6,5 cm. La parallèle à `'(¨a¨h) passant par `'¨m coupe le segment `'à¨a¨cù en `'¨n.
b. Prouver que `'¨n¨m"3@3/2 cm.
c. Calculer l'aire du trapèze `'¨a¨h¨m¨n. Arrondir au `'cm^2.

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114. Maths et histoire.
1. a. Tracer un triangle `'¨s¨a¨b rectangle en `'¨a. Les côtés `'à¨s¨aù et `'à¨a¨bù mesurent 1 cm.
b. Calculer la longueur exacte de l'hypoténuse `'à¨s¨bù.
2. a. Construire le triangle `'¨s¨b¨c rectangle en `'¨b tel que: `'¨b¨c"1 cm, `'¨c et `'¨a étant de part et d'autre de la droite `'(¨s¨b).
b. Calculer la valeur exacte de `'¨s¨c.
3. a. Poursuivre la construction comme indiqué sur la figure ci-contre.
b. Calculer la valeur exacte de `'¨s¨d et `'¨s¨e.
4. Construire un segment de longueur `'@7.
Cette construction géométrique des racines carrées des nombres entiers, connue sous le nom d'escargot de Pythagore, est probablement due au mathématicien grec Théodore de Cyrène (Ve siècle av. J.-C.).