Mathématiques Phare `6^ème Pages `77 à `94 en imprimé Notes du transcripteur `1. Les symboles suivants sont utilisés dans cet ouvrage : é`; é„' indicateurs de début et de fin de note du transcripteur éó indicateur d'appel de note `2. Les figures qui sont adaptées seront rassemblées dans un livret dont le numéro de page servira de référence dans le texte en braille. Pour celles qui ne sont pas décrites, faire appel à un lecteur si besoin. `3. Deux personnages accompagnent le lecteur au fil du livre : il s'agit d'un garçon, Teihotu, et d'une fille, Maréva. Leurs interventions seront placées entre guillemets. Page `77 Chapitre `5: Division Revoir --la notion de multiple; --la division à quotient entier et reste. --la division d'un nombre décimal par un nombre entier. Découvrir --des critères de divisibilité; --la notion de quotient. Socle commun SC`1 Connaître et utiliser les critères de divisibilité par `2, `5 et 10. SC`2 Calculer le quotient entier et le reste d'une division. SC`3 Poser et effectuer une division décimale. SC`4 Reconnaître et traiter les situations simples utilisant une division. Illustration non adaptée L'école d'Athènes est une fresque qui se trouve au musée du Vatican à Rome. Cette fresque du peintre italien Raphaël (`1483-1520) met en scène des savants grecs célèbres. Euclide, grand mathématicien grec, est représenté en bas à droite, penché sur une ardoise. Son livre, Les éléments, pose les bases de la géométrie enseignée au collège : la géométrie euclidienne. `1) Rechercher à quelle époque a vécu Euclide. `2) Euclide a aussi travaillé sur la division à quotient entier et reste. Comment appelle-t-on cette division? Page `78 Activités `1. Je traite une situation de répartition Un fermier ramasse `82 œufs et veut les vendre au marché par boîte de `6. Il demande à ses trois enfants de trouver le nombre de boîtes qu'il va remplir. A. Méthode du benjamin Il remplit des boîtes une par une jusqu'à ce qu'il n'ait plus assez d'œufs pour une boîte complète. `1) Il remplit une première boîte. Combien d'œufs lui reste-t-il? Il remplit une deuxième boîte. Combien d'œufs lui reste-t-il? `2) Combien peut-il remplir de boîtes au maximum? Combien restera-t-il d'œufs? Maréva dit: "Il faut soustraire mentalement `6: `82; `76; `70..." B Méthode de la cadette Elle utilise la table de multiplication par `6. `1) Encadrer `82 par deux multiples de `6 consécutifs. Recopier et compléter: `'6*...´ê82´ê6*.... `2) Préciser le nombre maximum de boîtes remplies et le nombre d'œufs restants. C. Méthode de l'aîné Il pose une seule opération. `1) Poser et effectuer cette opération. `2) Préciser le nombre maximum de boîtes remplies et le nombre d'œufs restants. `2. J'étudie une division avec quotient entier et reste (Je revois) On a placé les nombres `32, `10, `48 et `56 sur une demi-droite graduée. Ses nombres sont des multiples de `8. Voir figure `1 `1) a) Utiliser le schéma ci-joint pour recopier et compléter les égalités: `43"4*8!... `43"5*8!... `43"6*8-... Remarque: `43 contient `4 fois `8; `43 contient `5 fois `8; `43 ne contient pas `6 fois `8. b) En déduire le plus grand nombre entier de fois que `43 contient `8. Ce nombre est appelé quotient entier de la division euclidienne de `43 par `8. c) Calculer le produit de `8 par le nombre trouvé à la question `1) b). d) Combien reste-t-il à ajouter à ce produit pour obtenir `43? Ce nombre est appelé reste de la division euclidienne de `13 par `8. `2) Utiliser le schéma figure `1 pour recopier et compléter le tableau suivant: Tableau de `4 colonnes à compléter: a) Égalité b) Quotient entier c) Reste d) Comparaison du reste et du diviseur Division euclidienne de `43 par `8; a) `'43"5*8!3; b) ...; c). ..; d) `'3...8 Division euclidienne de `37 par `8; a) `'37"...*8!...; b) ...; c) ...; d) ... Division euclidienne de `56 par `8; a) `'56"...*..!..; b) ...; c) ...; d) ... Page `79 `3. J'effectue une division euclidienne (Je revois) Marina a effectué la division euclidienne de `604 par `7. Opération posée en figure `2. `1) En posant cette division, elle a trouvé `85 au quotient et `9 au reste. Sans effectuer cette division, expliquer pourquoi cette division est fausse. `2) On a préparé ci-après, la division que l'on désire effectuer à la main. La lettre C désigne les centaines, la lettre D les dizaines et la lettre U les unités. a) `6 est inférieur à `7, on ne peut donc pas partager les `6 centaines en `7. Peut-il y avoir un chiffre des centaines au quotient entier de la division? En déduire le rang du premier chiffre du quotient entier, puis le nombre de chiffres de ce quotient. b) Recopier et effectuer correctement cette division. c) Vérifier cette opération en utilisant les propriétés de la division euclidienne. `4. Je découvre un critère de divisibilité Rappel : «Un nombre est divisible par `3 si le reste de sa division euclidienne par `3 est zéro.» `1) Recopier en bleu cette liste de nombres entiers : `12, `26, `27, `35, `62, `72, `83, `102, `412, `865. `2) a) Sous chaque nombre de la liste, écrire en rouge la somme de ses chiffres. b) Entourer les sommes qui sont des multiples de `3. `3) a) Écrire la liste des nombres dont la somme des chiffres est entourée. Ces nombres sont-ils des multiples de `3? Teihotu dit: "J'ai parfois posé la division." b) Écrire la liste des nombres dont la somme des chiffres n'est pas entourée. Ces nombres sont-ils des multiples de `3? `4) Comment reconnaître un nombre divisible par `3 sans effectuer de division? Cette propriété s'appelle un critère de divisibilité par `3. `5. Je définis le quotient de `a par `b Pour réaliser des économies, quatre collègues utilisent la même voiture pour aller travailler. La dépense de chaque mois s'élève à `38,68 €. Ils veulent partager équitablement cette dépense. `1) a) Poser et effectuer la division décimale permettant de calculer la part de chacun. Combien chacun va-t-il payer ? b) Recopier et compléter : «Le reste de cette division décimale est égal à ... . Le nombre `9,67 est donc le ... de la division décimale de `38,68 par `4.» c) On appelle quotient de `a par `b le nombre qui multiplié par `b donne `a. Trouver le nombre manquant dans l'égalité suivante : `'...*4"38,68. Quel est le quotient de `38,68 par `4? `2) Un des collègues est absent en août. Les trois collègues restants doivent donc partager équitablement en trois les `38,68 €. a) Poser et effectuer jusqu'au centième la division décimale permettant de calculer la part de chacun. b) Recopier et compléter: `'12,89*3!..."38,68. Quel est le reste de cette division? Le nombre `12,89 est une valeur approchée au centième du quotient de `38,68 par `3. Combien chacun des trois va-t-il payer au mois d'août? Page `80 Cours `1. Division euclidienne Exemple: Pour le `'1^er mai, Marcelo vend du muguet. Il cueille `617 brins et veut réaliser des bouquets de `12 brins. On calcule le nombre de bouquets qu'il peut réaliser. On cherche, parmi les multiples de `12, ceux qui encadrent `617. `'51*12"612; `'52*12"624. Ainsi : `'51*12´ê617´ê52*12 Voir figure `3 ci-jointe Avec `617 fleurs, il peut faire au plus `51 bouquets de `12 brins. `'617-(51*12)"617-612"5. Il reste donc `5 fleurs. On peut écrire: `'617"(51*12)!5. Le nombre de fleurs restant est inférieur à `12. Vocabulaire: `51 est le plus grand nombre entier de fois que `12 est contenu dans `617. On dit que `51 est le quotient entier de la division euclidienne de `617 par `12. `617-(51*12)"5. Le reste de cette division est `5. `617 s'appelle le dividende et `12 s'appelle le diviseur de cette division. Propriétés: Le dividende est égal au produit du quotient entier et du diviseur, auquel on ajoute le reste. Le reste est inférieur au diviseur. Exemple: `'617"(51*12)!5 avec `'5´ê12 Remarques: Quand on pose une division euclidienne, figure 4. --On peut commencer par chercher le nombre de chiffres du quotient. On prépare la division en écrivant le rang de chaque chiffre du dividende. `6 est plus petit que `12, on ne peut donc pas partager les `6 centaines en `12. `61 est plus grand que `12, on peut donc partager les `61 dizaines en `12. Il y aura donc un chiffre des dizaines au quotient entier. Le quotient entier de la division s'écrira donc avec deux chiffres. --Il est possible de poser les soustractions au dividende. Toutefois ceci n'est pas obligatoire. La lettre C désigne les centaines, la lettre D les dizaines et la lettre U les unités. Point de repère dividende, diviseur, reste, quotient entier dividende `" (quotient entier `'* diviseur) `! reste avec reste `'´ê diviseur Page `81 En pratique la barre se trouvant sous le diviseur n'est pas conservée dans les opérations posée dans ce volume `2. Notion de diviseurs On a: `'38"2*19"2*19!0. Le reste de la division euclidienne de `38 par `2 est égal à zéro. Vocabulaire: On peut ainsi dire aux choix que: `38 est un multiple de `2; `38 est divisible par `2 ; `2 est un diviseur de `38. Remarque : Le mot diviseur a deux sens: diviseur d'une division et diviseur d'un nombre entier. `'38/3"12 et il reste `2. `3 est le diviseur de la division de `38 par `3, c'est-à-dire le nombre par lequel on divise `38. Le reste de cette division euclidienne n'est pas zéro, donc `3 n'est pas un diviseur du nombre `38. Définitions: Les nombres entiers divisibles par `2 sont appelés nombres pairs. Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par `2 sont appelés nombres impairs. Exemples: `380 est divisible par `2, donc `380 est un nombre pair. `381 n'est pas divisible par `2, donc `381 est un nombre impair. `3. Critères de divisibilité Propriétés: Divisibilité par `2, par `5 et par `10 --Si un nombre entier a pour chiffre des unités `0 ; `2 ; `4 ; `6 ou `8, alors il est divisible par `2. Sinon, il ne l'est pas. --Si un nombre entier a pour chiffre des unités `0 ou `5, alors il est divisible par `5. Sinon, il ne l'est pas. --Si un nombre entier a pour chiffre des unités `0, alors il est divisible par `10. Sinon, il ne l'est pas. Exemple: --`5'316 est divisible par `2 car son chiffre des unités est `6. --`5'316 n'est pas divisible par `5 car son chiffre des unités n'est ni `0, ni `5. --`5'316 n'est pas divisible par `10 car son chiffre des unités n'est pas `0. Propriétés: Divisibilité par `3 et par `9 --Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par `3, alors ce nombre est divisible par `3. Sinon, il ne l'est pas. --Si la somme des chiffres d'un nombre entier est divisible par `9, alors ce nombre est divisible par `9. Sinon, il ne l'est pas. Exemple: `'5!3!1!6"15 --`15 est divisible par `3, donc `5'316 est divisible par `3. --`15 n'est pas divisible par `9, donc `5'316 n'est pas divisible par `9. Propriétés : Divisibilité par `4 Pour savoir si un nombre entier est divisible par `4, on examine le nombre formé par ses deux derniers chiffres. --Si ce nombre est divisible par `4, alors le nombre initial est divisible par `4. Sinon, il ne l'est pas. Exemple: --`'16"4*4, ainsi `16 est divisible par `4. `5'316 est donc divisible par `4. --`14 n'est pas divisible par `4, donc `5'314 n'est pas divisible par `4. Page `82 `4. Division décimale a) Notion de quotient Définition: a désigne un nombre décimal et b un nombre entier différent de zéro. On appelle quotient de a par b, le nombre, qui multiplié par b, donne a. Le quotient de a par b se note `a:b. On a donc: `(a:b)*b"a Exemples : `6*5"30, donc `30:5"6. `'(25,2:8)*8"25,2. `'(7:3)*3"7. b) Lien avec la division décimale Définition: a désigne un nombre décimal et b un nombre entier différent de zéro. La division décimale de a par b est une opération qui permet de partager le nombre a en b parts identiques. Attention : Le résultat d'une division décimale n'est pas toujours un nombre décimal. Remarque: Dès que l'on abaisse le chiffre des dixièmes du dividende, on place la virgule au quotient. Exemple `1 : Calculer `'25,2:8.   25,20| 8 - 24   | 3,15   ccc  |    12  |   - 8  |   cccc |     40 |   - 40 |  ccccc |     00 | -Le reste de cette division décimale est égal à zéro. `3,15 est le quotient de la division décimale de `25,2 par `8. -Dans ce cas, on peut aussi écrire : `3,15*8"25,2 et `25,2:8"3,15. `3,15 est le quotient de `25,2 par `8. Conclusion : `3,15 est le quotient de `25,2 par `8. Exemple `2 : Calculer `7:3.   7,000| 3 - 6    | 2,33 cccc   |   10   | -  9   | cccc   |    10  |  -  9  | ccccc  |     1  | Cette division décimale posée a pour reste `1 centième. Le quotient de cette division posée est `2,33. On a `2,33*3!0,01"7. -La division décimale de `7 par `3 ne se termine jamais, donc `7:3_"2,33. -Conclusion : Le nombre `2,33 est une valeur approchée au centième du quotient de `7 par `3. c) Division par `10, par `100, par `1'000 Règle: Pour diviser un nombre ... on décale la virgule de ... Exemples: Pour diviser un nombre par `10, on décale la virgule de `1 rang vers la gauche: `'21,5:10"2,15 Pour diviser un nombre par par `100, on décale la virgule de `2 rangs vers la gauche: `'21,5:100"0,215 Pour diviser un nombre par par `1'000, on décale la virgule de `3 rangs vers la gauche: `'21,5:1'000"0,0215. Remarque : Diviser un nombre par `10 revient à le multiplier par `0,1. Exemple: `'49:10"4,9 et `'49*0,1"4,9. Page `83 Savoir-faire `1. J'apprends à... Utiliser une division euclidienne Énoncé: `158 personnes partent en voyage en train couchette. Chaque compartiment contient `6 couchettes. `1) Dans combien de compartiments les `158 personnes sont-elles réparties? `2) Combien reste-t-il de places libres dans le dernier compartiment? Solution : `1) Nombre de compartiments : On pose la division euclidienne de `158 par `6. 158|6    |26  38|   2| On a donc `158"6*26!2 avec `2_ê6. -Les `158 personnes sont réparties dans `27 compartiments. -`2) Il y a `2 personnes dans le dernier compartiment de `6 places. Le nombre de places libres dans ce compartiment est donc `4. Maréva dit: "Je cherche combien de fois `6 sont contenus dans `158. `26 compartiments couchettes sont remplis, mais les `2 personnes restantes doivent aller dans un autre compartiment." J'applique Exercice `1. SC`4 Un club achète un lot de `525 balles de tennis. Un animateur souhaite les ranger dans des boîtes. Combien doit-il utiliser de boîtes si elles contiennent : a) `4 balles? b) `3 balles? c) `5 balles? Exercice `2. SC`4 Un livre de mathématiques contient `278 pages. Il est divisé en `15 chapitres contenant le même nombre de pages, ce nombre étant maximum. Combien y a-t-il de pages annexes? Exercice `3. SC`4 132 supporters partent en autocar pour encourager leur équipe favorite. Pour chaque groupe de douze personnes, la douzième place est gratuite. Combien auront-ils de places gratuites? Exercice `4. SC`4 Un éleveur doit ranger `400 œufs dans des boîtes contenant `24 œufs. `1) Combien doit-il utiliser de boîtes au minimum? `2) Combien lui manque-t-il d'œufs pour remplir la dernière boîte? Exercice `5. SC`4 En utilisant au maximum sa ramette de `500 feuilles, Martine peut fabriquer `13 fascicules contenant le même nombre de feuilles. Combien lui manque-t-il de feuilles pour un fascicule supplémentaire? Exercice `6. SC`4 Amélie doit ranger ses `53 cédéroms dans un meuble. La largeur d'un cédérom est de `9 mm. Le meuble est formé de compartiments de `178 mm de largeur chacun. `1) Combien Amélie peut-elle placer de cédéroms dans un compartiment? Quelle place reste-il? `2) Amélie range les cédéroms en remplissant au maximum les compartiments. Combien va-t-elle utiliser de compartiments? Exercice `7. SC`4 Martin achète des yaourts pour les deux prochaines semaines. Chacun des cinq membres de la famille mange un yaourt par jour. Les yaourts sont vendus par paquets de `8. `1) Combien de paquets doit-il acheter? `2) Combien restera-t-il de yaourts au bout des deux semaines? Exercice `8. SC`4 Un cuisinier doit proposer une part de camembert à `67 personnes. Chacun des `9 camemberts doit être partagé selon le même nombre de parts. `1) En combien de parts faut-il couper chaque camembert? `2) Combien de parts restera-t-il? Page `84 `2. J'apprends à... Utiliser les critères de divisibilité Énoncé: Préciser si le nombre `2'835 est divisible: a) par `2; b) par `5 ; c) par `10; d) par `3; e) par `9 ; f) par `4 Teihotu dit: "Pour savoir si un nombre est divisible par `2, `5 ou `10, je m'intéresse à son dernier chiffre. Pour savoir si un nombre est divisible par `3 ou `9, j'additionne ses chiffres. Pour savoir si un nombre est divisible par `4, je m'intéresse au nombre formé par ses `2 derniers chiffres." Solution: a) Le dernier chiffre du nombre `2'835 n'est ni `0, ni `2, ni `4, ni `6, ni `8 ; donc, `2'835 n'est pas divisible par `2. b) Le dernier chiffre est `5; donc, `2'835 est divisible par `5. c) Le dernier chiffre n'est pas `0; donc, `2'835 n'est pas divisible par `10. d) et e) `'2!8!3!5"18 `18 est divisible par `3 et par `9; `2'835 est donc divisible par `3 et par `9. f) `35 n'est pas divisible par `4; donc, `2'835 n'est pas divisible par `4. J'applique Pour les exercices `9 et `10, voici une liste de huit nombres: `54; `76; `501; `740; `312; `124; `2'295; `21'135. Exercice `9. SC`1 Citer les nombres de la liste divisibles : a) par `2; b) par `5; c) par `10; d) par `2 et par `5. Exercice `10. Citer les nombres de la liste divisibles : a) par `3 ; b) par `9 ; c) par `4 ; d) par `3 et par `4. Pour les exercices `11 à `13, préciser si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Justifier chaque réponse. Exercice `11. a) `138 est divisible par `3 et par `2. b) `4 648 est divisible par `4 et par `3. c) `2 340 est divisible par `9 et par `10. Exercice `12. SC`1 a) `530 est divisible par `2 et par `5. b) `9'435 est divisible par `5, mais pas par `2. c) `1'930 est divisible par `2, mais pas par `5. d) `410 est divisible par `10, mais pas par `5. Exercice `13. a) `5'532 est divisible par `3, mais pas par `9. b) `8'412 est divisible par `4, mais pas par `3. c) `1'530 est divisible par `9 et par `5. d) `9'414 est divisible par `9 et par `4. Exercice `14. Recopier et compléter par oui ou par non le tableau suivant : Tableau adapté ... est divisible par: `2; `3; `4; `5; `9; `10 `76'215: ...; ...; ...; ...; ...; ... `32'560: ...; ...; ...; ...; ...; ... `57'420: ...; ...; ...; ...; ...; ... `610'532: ...; ...; ...; ...; ...; ... Pour les exercices `15 à `17, voici une liste de nombres: `6; `25; `36; `38; `45; `90; `111; `132; `153; `300; `465; `27'480. Exercice `15. Trouver les nombres de la liste qui sont divisibles à la fois : a) par `3 et par `5; b) par `9 et par `5. Exercice `16. a) Citer les nombres de la liste qui sont divisibles à la fois par `2 et par `3. b) Tous ces nombres sont-ils divisibles par `6? Exercice `17. a) Citer les nombres de la liste qui sont divisibles à la fois par `3 et par `9. Quelle remarque peut-on faire pour répondre rapidement? b) Tous ces nombres sont-ils divisibles par `27? Page `85 `3. J'apprends à... Utiliser et effectuer une division Énoncé : Un lot de `6 yaourts biologiques coûte `4,62 €. Calculer le prix d'un yaourt. Poser le calcul. Solution: On partage `4,62 € en `6, donc on divise `4,62 par `6.   4,62| 6 - 0   | 0,77 cccc  |   46  | - 42  | cccc  |    42 |  - 42 |  cccc |    00 | On a donc `4,62:6"0,77. Un yaourt coûte `0,77 €. Maréva dit: "Dans `4 unités combien de fois `6 ? `0 fois! Le chiffre des unités du quotient est donc `0. Le reste est `0 : la division tombe juste!" J'applique Exercice `18. SC`4 Six amis se partagent équitablement une récolte de `13,2 kg de fraises. Quelle masse de fraises revient à chaque ami? Exercice `19. SC`4 Deux éponges végétales coûtent `1,70 €. Combien coûte une éponge? Exercice `20. SC`4 `7 kg de pommes coûtent `17,01 € Calculer le prix d'un kilogramme de pommes. Exercice `21. SC`4 Anna paye `9,45 € pour un lot de `3 dentifrices. Combien coûte un tube de dentifrice? Exercice `22. SC`4 Karim achète un rouleau de `45 m de fil électrique. Il paie `10,35 €. Quel est le prix d'un mètre de fil électrique? Exercice `23. SC`4 François achète à la boulangerie `2 pains à `0,95 € l'un et `3 flûtes. Il paie `4,21 €. Quel est le prix d'une flûte? Exercice `24. SC`4 Un petit ordinateur portable coûte `299,90 €. Le vendeur propose une remise de `20 € et un paiement en `3 mensualités sans frais. Quel est le montant d'une mensualité? Exercice `25. SC`4 Brad dépense `3,87 € pour `9 m de ruban. Il veut l'utiliser en totalité pour décorer équitablement six paquets-cadeaux identiques. `1) Calculer, pour chaque paquet : a) la longueur de ruban utilisée ; b) le prix du ruban utilisé. `2) Calculer le prix d'un mètre de ruban utilisé. Exercice `26. SC`4 L'épreuve de cyclisme sur route homme des jeux Olympiques de Pékin s'est courue entre le centre de Pékin et la Grande Muraille, sur `248,5 km. Après `80 km, les coureurs ont dû effectuer `7 fois le tour du circuit final. Donner une valeur approchée au mètre près de la longueur du tour de ce circuit final. Exercice `27. SC`4 Pierre veut acheter `4 livres d'occasion de même prix. La vendeuse lui réclame `16,80 €. Il constate qu'il lui manque alors `4,50 €. Combien peut-il acheter de livres? Exercice `28. SC`4 Fred fait `148 pas égaux pour parcourir `100 m. Donner une valeur approchée au centimètre près de la longueur moyenne d'un de ses pas. Page `86 À l'oral Division euclidienne SC`2 Pour les exercices `29 à `34, calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: Exercice `29. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `48 par `8; b) `42 par `6; c) `72 par `8; d) `49 par `7; e) `86 par `2; f) `200 par `4. Exercice `30. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `45 par `9; b) `18 par `3; c) `32 par `8; d) `27 par `9; e) `30 par `3; f) `77 par `11. Exercice `31. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `26 par `5; b) `20 par `3; c) `32 par `6; d) `30 par `9; e) `38 par `4; f) `79 par `8. Exercice `32. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `54 par `5; b) `36 par `3; c) `68 par `6; d) `86 par `11; e) `49 par `4; f) `55 par `2. Exercice `33. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `20 par `10; b) `27 par `10; c) `500 par `10; d) `520 par `10; e) `527 par `10; f) `7 par `10. Exercice `34. calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `700 par `100; b) `480 par `100; c) `283 par `100; d) `32 par `100; e) `78 par `1'000; f) `1'000 par `1'000. Diviseurs - Multiples Exercice `35. `1) Citer sept multiples de `8. `2) a) Donner le nombre `8 sous la forme d'un produit de deux nombres entiers. Donner deux possibilités. b) En déduire quatre diviseurs du nombre `8. Exercice `36. `1) Citer dix multiples du nombre `6. `2) Citer tous les diviseurs du nombre `6. Exercice `37. `1) Citer six multiples du nombre `12. `2) Citer six diviseurs du nombre `12. Exercice `38. `1) En calculant `32*10 et `32*2, vérifier que `32*12"384. `2) En déduire deux diviseurs de `384. `3) En citer deux autres. Exercice `39. SC`2 `1) Justifier que `23*12"276. `2) Compléter les phrases suivantes : a) «`23 est un ... de `276. `12 est un ... de `276.» b) «`276 est ... par `23. `276 est un ... de `23.» c) «`276 est ... par `12. `276 est un ... de `12.» d) «Dans la division euclidienne de `276 par `23, le reste est ..., le quotient est ... .» Critères de divisibilité Pour les exercices de `40 à `45, on considère la liste de nombres suivante : `6; `8; `12; `15; `23; `17; `706; `7'830; `2'300; `53'160. Exercice `40. SC`1 a) Citer le critère de divisibilité par `2. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `2. Exercice `41. a) Citer le critère de divisibilité par `3. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `3. Exercice `42. a) Citer le critère de divisibilité par `4. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `4. Exercice `43. SC`1 a) Citer le critère de divisibilité par `5. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `5. Exercice `44. a) Citer le critère de divisibilité par `9. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `9. Exercice `45. SC`1 a) Citer le critère de divisibilité par `10. b) Citer les nombres de la liste divisibles par `10. Division décimale Exercice `46. SC`3 Calculer chacun des quotients suivants : a) `'40:10 b) `'39:10 c) `'850:10 d) `'3:10 e) `'963:100 f) `'6:1'000 Exercice `47. SC`3 Effectuer la division décimale de : a) `75,4 par `10 ; b) `3,72 par `100 ; c) `0,600 par `100 ; d) `53,2 par `1'000. Exercice `48. SC`3 `1) Effectuer `22:2, puis `11:2. En déduire `22:4. `2) Comment diviser mentalement par `4? `3) Diviser par `4 chacun des nombres suivants : a) `68; b) `30; c) `40,8; d) `8,2; e) `21; f) `21,4. Exercice `49. SC`3 `1) a) Calculer `'40:10, puis `'4*2. b) Calculer `40:5. Que remarque-t-on? c) Compléter : «Pour diviser mentalement par `5, je peux diviser par ..., puis multiplier par ... .» `'40:10"4 `'4*2"8 `'40:5"8 `2) Diviser par `5 chacun des nombres suivants. a) `42; b) `21; c) `304; d) `86; e) `3,2. Page `87 Je m'entraîne Division euclidienne Pour les exercices `50 et `51, Kaithe a posé la division ci-après:   cdu   537| 8 - 48 | 67 cccc |    57|  - 56| ccccc|     1| Exercice `50. SC`1 Kaithe explique sa technique de division à Jean. Observer l'opération qu'elle a posée, puis recopier et compléter les lignes suivantes : «En `53 dizaines combien de fois ...? Il y va ... fois. Le quotient commence par ... dizaines. `'6*8"... et `'53-..."5, il reste donc `5 dizaines. Et j'abaisse le ... du dividende. En `57 unités, combien de fois ...? Il y va ... fois. et je dis : `'...*8"... et `'57-..."..., il reste donc ... unité. Le quotient entier de ... par ... est donc ... et il reste ... .» Exercice `51. SC`2 `1) Vérifier la division de Kaithe en utilisant les propriétés de la division euclidienne. Kaithe dit: "`8 est un diviseur de `537." Jean lui dit: "`8 est le diviseur." `2) Dans cette division, quel est : a) le dividende? b) le diviseur? c) le quotient? d) le reste? `3) Quel enfant a raison? Justifier la réponse. Exercice `52. Recopier, puis effectuer les divisions euclidiennes ci-dessous. On posera les soustractions pour la seconde opération seulement.   734| 6   éé | ééé    éé|     é|       |   290| 7 - éé | éé ccccc|    éé| -   é|  ccccc|     é| Exercice `53. SC`2 Déterminer le dividende d'une division euclidienne, sachant que son quotient entier est `17, son diviseur `31 et son reste `28. Exercice `54. SC`2 Trouver le nombre de chiffres du quotient pour la division euclidienne de : a) `362 par `8 ; Remarque: `3´ê8, on ne peut donc pas partager les `3 centaines en `8. b) `915 par `8; c) `5'231 par `8; d) `8'206 par `8; e) `9 par `8; f) `75 par `8; g) `91 par `8; h) `6 par `8. SC`2 Pour les exercices `55 et `56, et pour chacune des divisions euclidiennes proposées : `1) trouver le nombre de chiffres du quotient; `2) poser, puis effectuer la division euclidienne ; `3) vérifier le calcul en utilisant les propriétés de la division euclidienne. Exercice `55. a) `392 par `8; b) `564 par `7; c) `876 par `12. Exercice `56. a) `572 par `26 ; b) `5 493 par `3 ; c) `8 530 par `47. Exercice `57. SC`2 Poser et effectuer la division euclidienne de: a) `4'032 par `56; b) `9'657 par `8; c) `459 par `63. Exercice `58. SC`2 Effectuer la division euclidienne de: a) `9'537 par `87; b) `19 par `19; c) `8 par `56. Exercice `59. `1) Vérifier que `'253"31*8!5 `2) Sans poser la division, donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `253 par `8. `3) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `253 par `31. Exercice `60. `1) Vérifier que `'135"7*18!9 `2) Sans poser l'opération, donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `135 par `18. `3) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `135 par `7. Maréva dit: "Attention, il y a un piège!" Exercice `61. `1) Calculer `'9*15. `2) Donner, sans poser de division, le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `135 par `9; b) `141 par `9; c) `130 par `9; d) `148 par `15; e) `148 par `9. Page `88 Diviseurs - Multiples Exercice `62. `1) Vérifier que `'540"12*45. `2) Recopier et compléter les phrases ci-dessous. a) «`45 est un ... de `540.» b) «`540 est ... par `45.» c) «`540 est un ... de `45.» d) «Dans la division euclidienne de `540 par `45, le reste est ..., le quotient est ..., le ... est `540, le ... est `45.» `3) Écrire une phrase similaire à celle du `2) d) pour expliquer la division euclidienne de `540 par `12. Exercice `63. `1) Écrire cinq multiples de `60. `2) a) Écrire `60 sous la forme d'un produit de deux nombres entiers. En déduire deux diviseurs de `60. b) Trouver dix autres diviseurs du nombre `60. c) Écrire ces douze diviseurs dans l'ordre croissant. Critères de divisibilité Exercice `64. SC`1 Trouver, si c'est possible, un exemple de nombre entier de trois chiffres différents : a) divisible par `5 et par `10; b) divisible par `5, mais pas par `10; c) divisible par `10, mais pas par `5; d) divisible ni par `10, ni par `5. Exercice `65. SC`1 Trouver tous les nombres entiers de trois chiffres identiques qui sont divisibles: a) par `2; b) par `5; c) par `10. Exercice `66. Trouver tous les nombres entiers de trois chiffres identiques qui sont divisibles: a) par `3; b) par `4; c) par `9. Exercice `67. SC`1 `3; `6; `5; `1. En utilisant une fois et une seule chaque étiquette chaque chiffre pour le braille, trouver le plus petit nombre entier de quatre chiffres qui est divisible: a) par `2; b) par `5. Exercice `68. `3; `5; `6; `4 En utilisant une fois et une seule chaque étiquette chaque chiffre pour le braille, écrire le plus grand nombre entier de quatre chiffres qui est divisible: a) par `2; b) par `3; c) par `4; d) par `5; e) par `9. Division décimale Exercice `69. Recopier, puis compléter avec un nombre décimal. a) `'73,5:.."7,35 b) `'475,1:.."0,4751 c) `'...`100"23,8 d) `'...1'000"0,05 e) `'2*..."7 Exercice `70. Recopier et compléter: a) `'(97,1:32)*32"... b) `'(5,4:5)*"5,4 c) `'(...:3)*3"8,4 d) `'(3,5:...)*8"3,5 e) `'2*(7:2)"... f) `'3*(...)"7 Exercice `71. SC`4 Recopier, puis compléter avec un nombre décimal. Maréva dit: "J'ai trouvé mentalement." a) `'3,6:3"... b) `'12,6:..."2,1 c) `'12,8:2"... d) `'...:2"12,4 f) `'63,7:7"0 Exercice `72. SC`3 Poser et effectuer chaque division. a) `'26,35:5 b) `'128,1:6 c) `'125:8 d) `'340,2:6 e) `'9,42:15 f) `'57,6:18 Exercice `73. SC`3 Poser et effectuer chaque division. a) `'92:8 b) `'511:14 c) `'173:4 d) `'39:8 e) `'36:75 f) `'73:125 Exercice `74. SC`3 Poser et effectuer les divisions. Donner une valeur approchée au centième de chaque quotient. a) `'85:6 b) `'57:13 c) `'7:15 d) `'125,2:3 e) `'658:11 f) `'24,1:25 Exercice `75. SC`3 Poser et effectuer les divisions. Donner une valeur approchée au millième de chaque quotient. a) `'37:9 b) `'349:3 c) `'23:26 d) `'7:11 e) `'9,4:7 f) `'31,7:18 g) `'5,63:14 Exercice `76. SC`3 Poser et effectuer chaque division et préciser si le quotient est un nombre décimal. a) `68,16:12 b) `28,98:23 c) `586:11 d) `46:12. Page `89 Je fais le point J'ai appris à... --Effectuer et utiliser une division euclidienne. --Utiliser les propriétés de la division euclidienne. --Utiliser les critères de divisibilité par `2; `3; `4; `5; `9 et `10. --Effectuer et utiliser la division d'un nombre décimal par un nombre entier. Attention il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé ! Les trouver toutes. Exercice `77. `65*11´ê725´ê66*11 Donc, le quotient entier de la division euclidienne de `725 par `11 est: A: `66 B: `65 C: `65,5 D: `11 Si échec revoir: p. `80 Exercice `78. Dans la division euclidienne de `584 par `15 : A: le reste est `14 B: le quotient est `38 C: le reste est `38 D: le quotient est `38,9 Si échec revoir: p. `80 Exercice `79. On a : `252"(10*24)!12. Donc, le reste de la division euclidienne de: A: `252 par `24 est `12 B: `252 par `24 est `10 C: `252 par `10 est `12 D: `252 par `10 est `2 Si échec revoir: p. `80 Exercice `80. Comme `'204"12*17, on peut dire que: A: `204 est un multiple de `17 B: `17 est un multiple de `204 C: `204 est divisible par `17 D: `12 et `17 sont des diviseurs de `204 Si échec revoir: p. `81 Exercice `81. `4 530 est divisible par : A: `3 B: `4 C: `5 D: `9 Si échec revoir: p. `81 Exercice `82. Le quotient de `31 par `4 est: A: `7 B: `31:4 C: `7,75 D: `7,7 Si échec revoir: p. `82 Exercice `83. `'15,2:25 est égal à: A: `0 B: `0,6 C: `0,68 D: `0,608 Si échec revoir: p. `82 Lili range `38 tee-shirts dans des boîtes pour les vendre au vide-grenier. Chaque boîte contient `7 tee-shirts. Un acheteur lui propose `133 € pour la totalité. Exercice `84. Combien de boîtes Lili utilise-t-elle pour ranger tous ses tee-shirts? A: `5,42 B: `5 C: `6 D: `38 Si échec revoir: p. `83 Exercice `85. Combien de tee-shirts manque-t-il pour remplir la dernière boîte? A: `3 B: `4 C: `5 C: `6 Si échec revoir: p. `83 Exercice `86. Combien l'acheteur propose-t-il de payer chaque tee-shirt? A: `3 € B: `19 € C: `133 € C: `3,5 € Si échec revoir: p. `85 Page `90 J'approfondis Exercice `87. Recopier et compléter le tableau suivant qui concerne des divisions euclidiennes : Légende pour le braille Dvd: Dividende Dvs: Diviseur Qe: Quotient entier Re: Reste Dvd: `82; Dvs: `7; Qe: ...; Re: ... Dvd: ...; Dvs: `12; Qe: `15; Re: `4 Dvd: `333; Dvs: ...; Qe: `9; Re: ... Dvd: `164; Dvs: `16; Qe: ...; Re: ... Dvd: ...; Dvs: `24; Qe: `9; Re: `0 Dvd: ...; Dvs: `3; Qe: `24; Re: ... Maréva dit: "J'ai trouvé plusieurs possibilités pour la dernière ligne!" Exercice `88. Le reste d'une division euclidienne est égal à `13, son quotient est le triple du reste et son diviseur est le double du quotient. Quel est le dividende de cette division? Exercice `89. Cyril fête son anniversaire. Sur la plaque du four, il dispose à chaque fournée `5 rangées de `8 macarons. Il veut fabriquer `7 macarons pour chacun de ses `38 invités. `1) Combien de fournées va-t-il préparer? `2) Combien de macarons restera-t-il? Exercice `90. Un magazine tire à `400'000 exemplaires. Cette impression nécessite `3 tonnes d'encre (noire, bleue, rouge et jaune) et `97 tonnes de papier. Remarque: "J'ai exprimé les masses en gramme." `1) Quelle masse d'encre est utilisée pour chaque exemplaire de ce magazine? `2) Quelle masse de papier est utilisée pour chaque exemplaire de ce magazine? `3) En déduire la masse approximative d'un exemplaire de ce magazine. Contrôler la vraisemblance du résultat. Exercice `91. `1) Vérifier que `'225"17*12!21. `2) Donner sans poser de division le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `225 par `17. `3) Donner sans poser de division le quotient entier et le reste de la division euclidienne de `225 par `12. Exercice `92. `1) Calculer le produit de `11 par `19. `2) Donner, sans poser de division, le quotient entier et le reste de la division euclidienne de: a) `209 par `11; b) `219 par `11; c) `222 par `11. Exercice `93. En justifiant la réponse, préciser si chaque proposition est vraie ou fausse. Remarque: J'ai utilisé les critères de divisibilité ou bien j'ai trouvé un exemple qui contredit l'affirmation ! a) Si un nombre se termine par `2, alors il est divisible par `2. b) Si un nombre se termine par `3, alors il est divisible par `9. c) Si un nombre se termine par `5, alors il est divisible par `5. d) Si un nombre se termine par `12, alors il est divisible par `4. Exercice `94. En justifiant la réponse, préciser si chaque proposition est vraie ou fausse. a) Si un nombre se termine par `3, alors il n'est jamais divisible par `3. b) Si un nombre se termine par `5, alors il n'est jamais divisible par `9. c) Si un nombre se termine par `9, alors il n'est jamais divisible par `5. Exercice `95. SVT La masse du plus grand animal actuel, la baleine bleue, est de `100 tonnes. Un rhinocéros a une masse `80 fois plus petite. Une girafe pèse autant qu'un rhinocéros. La masse de la girafe correspond à `20 fois la masse de feuilles qu'elle mange chaque jour et à `80 fois la masse journalière d'eau qu'elle boit. `1) Calculer la ration quotidienne de feuilles et d'eau d'une girafe. `2) Combien de jours faudra-t-il à une girafe pour manger en feuilles l'équivalent de la masse : a) d'un rhinocéros? b) d'une baleine bleue? Page `91 Exercice `96. Histoire La lieue de poste est une ancienne mesure de distance. C'était la distance que parcourait un postillon en une heure. Maréva dit: "Un postillon est un conducteur d'une voiture de poste." Au dix-septième siècle, les postillons mettaient sept heures, soit une journée de marche, pour relier deux relais de poste. La distance entre deux relais de poste était alors environ de `27,3 km. `1) Pourquoi nommait-on leurs bottes «des bottes de `7 lieues» ? `2) Quelle est, en kilomètre, la longueur d'une lieue de poste? Exercice `97. Français D'après la légende, les bottes de sept lieues sont des bottes magiques qui permettent de parcourir `7 lieues, soit environ `28 km à chaque enjambée. Illustration non adaptée accompagnée du texte suivant "Le Petit Poucet, ayant mis les fameuses bottes enlevées à l'Ogre qui dormait profondément, partit comme une flèche." `1) Pour échapper à l'ogre, Le Petit Poucet lui a volé ses bottes de `7 lieues. Combien lui faudra-t-il d'enjambées pour parcourir les `125 km qui le séparent de sa maison? `2) Quand la Belle au Bois Dormant se piqua avec la quenouille qui l'endormit, la Bonne Fée fut prévenue «en un instant» par son messager, le nain chaussé de bottes de `7 lieues. Combien a-t-il fallu d'enjambées à ce nain pour parcourir les `17 000 lieues qui séparaient le château de la Belle au Bois Dormant de sa marraine la fée? `3) Quel est l'auteur des contes cités dans l'exercice? Quel est le titre de ce recueil de contes? Exercice `98. Le Petit Poucet laisse tomber de sa poche un petit caillou blanc tous les `10 pas afin de retrouver son chemin. Il a semé `523 cailloux en parcourant `2,61 km. Combien mesure chacun de ses pas? Teihotu dit: "Le premier caillou est déposé après `10 pas." Exercice `99. EPS Le `110 m haies est une course masculine comportant `10 haies de `1,067 m de hauteur. La distance entre deux haies consécutives est constante. La distance entre la ligne de départ et la première haie est de `13,72 m. La distance entre la dernière haie et la ligne d'arrivée est de `14,02 m. `1) Faire un schéma pour expliquer la situation. `2) Calculer la distance entre deux haies consécutives en s'aidant du schéma. Exercice `100. Le marathon de Pékin Le marathon, symbole des jeux Olympiques, se court sur `42,195 km. À Pékin, le `21 août `2008, Samuel Wanjiru, `21 ans, offre au Kenya le premier titre olympique du marathon de son histoire en `2 heures `6 minutes et `32 secondes. `1) a) Convertir en secondes sa performance. b) Combien de mètres a-t-il parcourus en une seconde? On donnera une valeur approchée au millième. `2) a) En déduire la distance en kilomètres qu'il a parcourue en une heure. b) À quoi correspond ce nombre? Page `92 Devoirs à la maison Devoir A Exercice `101. Raphaël organise une soirée dansante. Il a préparé `200 petits canapés. En comptant Raphaël, ils seront huit à cette soirée. Toutes les opérations à effectuer seront posées. `1) Combien de canapés a-t-il prévus par personne? `2) Il veut présenter les canapés sur des assiettes de `12 canapés. Quel est le nombre minimum d'assiettes nécessaires pour les ranger tous ? Combien manquera-t-il de canapés sur l'assiette incomplète? `3) Les canapés lui reviennent à `68 € au total. Combien a-t-il dépensé par participant? `4) Calculer le prix d'une bouteille de jus de fruits si `12 bouteilles coûtent `38,28 €. Exercice `102. On considère le nombre entier de quatre chiffres `123... dans lequel le chiffre des unités est inconnu. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre, s'il est divisible: a) par `2? b) par `3? c) par `4? d) par `5? e) par `9? f) par `10? Devoir B Exercice `103. Frédéric parcourt les `150 km qui séparent la ville A de la ville B en `2 h `20 min. Il paye `15,12 € pour les `12 litres d'essence consommée pour ce trajet. `1) Trouver le nom des villes A et B, et la région française représentée sur la carte. `2) a) Combien Frédéric a-t-il payé le litre d'essence? b) Combien de litres d'essence a-t-il consommés pour `1 km? Quelle est la consommation de sa voiture aux `100 kilomètres? `3) a) Convertir en minutes son temps de trajet. b) En déduire la distance, en kilomètres, qu'il parcourt en une minute. Donner une valeur approchée au millième. c) Quelle distance, en kilomètre, a-t-il parcourue en une heure? Je cherche Exercice `104. D'après le Concours Kangourou Un kangourou effectuant `2 sauts en `1,5 seconde parcourt `12 km en `1 heure. Trouver le nombre de sauts qui lui permet de parcourir `100 m. Exercice `105. D'après le Rallye mathématique de Maine et Loire Le père de Jérôme n'est pas encore centenaire. Cette année, son âge est divisible par `5. L'année dernière, son âge était divisible par `3. L'année prochaine, il sera divisible par `4. Quel est son âge? Exercice `106. `1) a) Choisir un nombre entier de trois chiffres et l'écrire deux fois de façon à obtenir un nombre entier de six chiffres. b) Diviser ce nombre de six chiffres par `7; diviser le quotient obtenu par `11; diviser le nouveau quotient obtenu par `13. c) Quel nombre étonnant obtient-on? `2) Recommencer avec un autre nombre entier de trois chiffres. Que remarque-t-on? `3) Expliquer ce curieux résultat. Exercice `107. `1) Choisir un nombre entier de deux chiffres et l'écrire trois fois de façon à obtenir un nombre entier de six chiffres. `2) Diviser ce nombre de six chiffres par `37, le quotient obtenu par `21, le nouveau quotient obtenu par `13. `3) Quel nombre étonnant obtient-on? Pourquoi? Page `93 J'utilise la calculatrice Rubrique dont seuls les exercices ont été transcrits Les calculatrices utilisées au collège permettent de trouver: a) le quotient entier et le reste d'une division euclidienne; b) une valeur approchée du quotient d'une division décimale. Exercice `108. Calculer le quotient entier et le reste de la division euclidienne de : a) `1'962 par `56; b) `381 par `17; c) `4'513 par `312; d) `417 par `581; e) `6'838 par `526. Exercice `109. Donner une valeur approchée au centième du quotient de: a) `1'962:56 b) `3,81:17 c) `15,13:312 d) `117:581 e) `6,838:52 Page `94 Découverte L'euro dans l'histoire Photographies Franc à cheval, Jean II le Bon La Semeuse de Roty. Avant `2002, la monnaie utilisée en France était le franc. C'est le paiement d'une rançon qui donna son nom à notre ancienne monnaie. En `1360, on frappa `3 millions de pièces d'or pour libérer le roi Jean le Bon capturé par les Anglais à Poitiers en `1356. Cette somme permit au roi de revenir «franc» (libre) dans son royaume. Exercice `110. Le `1er janvier `1960, sous l'impulsion du général de Gaulle, le ministre des Finances Antoine Pinay remplace «l'ancien franc» par le «nouveau franc». La base de l'échange est : `1 nouveau franc `'"100 anciens francs. `1) Combien coûte en «nouveaux» francs, le litre d'essence vendu `100 francs en `1959? `2) Combien coûtait en «anciens» francs, un kilogramme de pain vendu `60 centimes en `1960? Exercice `111. Depuis le `1^er janvier `2002, onze pays de l'Union européenne utilisent l'euro. D'autres pays ont rejoint la zone euro depuis. Le symbole de l'euro est €. `1) Trouver les `11 pays qui utilisaient l'euro en `2002. `2) Pour l'Allemagne, l'Espagne et l'Italie, donner le nom de la monnaie utilisée avant `2002. `3) La correspondance entre le franc français et l'euro a été fixée à `1 € `"6,55957 francs. En utilisant la calculatrice, trouver combien `1 franc français vaut d'euros à `1 centime près. Photographies Des pièces d'euros et de centimes d'euros de Chypre, `2008. Exercice `112. L'euro est subdivisé en centièmes d'euro, le «cent» ou «centime d'euro». `1 euro `"100 centimes d'euro. `1) Il y a huit pièces de valeurs différentes ainsi que sept billets. Trouver ces quinze valeurs. `2) Parmi les huit valeurs des pièces, lesquelles sont des multiples de l'euro? `3) Parmi les sept valeurs de billets, lesquelles sont des multiples de l'euro? `4) Combien faut-il de pièces de `5 centimes pour faire `20 €? Exercice `113. Entre `2008 et `2010 seront éditées en France des pièces en argent de `5 €, `10 €, `15 €, `25 €, `50 €, et des pièces en or de `100 €, `250 €, `500 €. Destinées aux collectionneurs, le tirage de ces pièces sera limité. Trouver comment obtenir une somme de `6'785 € avec des pièces de ce type: a) en utilisant le plus grand nombre de pièces possible; b) en utilisant le plus petit nombre de pièces possible. Photographies Des euros en argent et en or.