Mathématiques
Phare `3^ème
Chapitre `9
Fonction affine

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Activité `1
Je découvre une nouvelle fonction

Un opérateur de téléphonie mobile propose un forfait de 2 heures de communication à `40 euros.
Au delà de ce forfait, chaque communication est facturée `0,30 ¤e la minute.

`1) a. Combien paiera-t-on de supplément si on dépasse le forfait de `10 min?
b. Quel sera le montant total de la facture?

`2) Compléter le tableau adapté suivant.
Le temps est en minutes, les montants en ¤e.
(Note: pour un temps de dépassement de `10 `min, le montant de la facture est de `43 ¤e)

temps de dépassement; supplément payé; montant de la facture.
`0; ...; ...
`1; ...; ...
`10; ...; `43.
`30; ...; ...
`60; ...; ...
`90; ...; ...
`x; ...; ...

`3) a. Le supplément payé est-il proportionnel au temps de dépassement?
Justifier la réponse.
b. Le montant de la facture est-il proportionnel au temps de dépassement?
Justifier la réponse.

`4) On note `s la fonction qui, à un dépassement de `x `min, associe le supplément payé en euros. Déterminer la fonction `s. Quelle est la nature de la fonction `s? Justifier la réponse.

`5) On note `f la fonction qui, à un dépassement de `x `min, associe le montant total de la facture en euros.
a. Déterminer la fonction `f.
b. Cette fonction est-elle linéaire? Justifier la réponse.
c. `a et `b étant des nombres fixés, une fonction qui, à tout nombre `x, associe le nombre `ax!b est appelée fonction affine.
La fonction `f est-elle une fonction affine? Justifier la réponse.

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Fonctions affines

Pour les exercices `1 à `5, en justifiant la réponse, préciser si chacune des fonctions suivantes est affine, linéaire ou constante.

`1)
a. `f: `x´57x-1;
b. `g: `x´5-3!2x;
c. `h: `x´5-9x;
d. `i: `x´5-8.

`2)
a. `f: `x´5-6x*4;
b. `g: `x´5-3!2x^2;
c. `h: `x´54x!2x;
d. `i: `x´50x.

`3)
a. `f:x´5x*3;
b. `g: `x´53*x;
c. `h: `x´5x:3;
d. `i: `x´53:x.

`4)
a. `f: `x´55*x!4;
b. `g: `x´5x!4*5;
c. `h: `x´55:x!4;
d. `i: `x´5x:4:5.

`5)
a. `f: `x´5x/x;
b. `g: `x´5-1,4;
c. `h: `x´52/3-x;
d. `i: `x´5x.

Image, antécédent

On considère la fonction affine `f définie par: `f: `x´5-2x!5.
`1) Calculer l'image de chacun des nombres suivants par la fonction `f:
a. `0;
b. `1;
c. `-7;
d. `3,5.
`2) Calculer l'antécédent de chacun des nombres suivants par la fonction `f:
a. `5;
b. `3;
c. `1;
d. `0.

`7) On considère une fonction telle que:
`f(-6)"0 et `f(0)"4.
`1) Donner lorsque c'est possible:
a. l'image de `-6; un antécédent de `-6;
b. l'image de `0; un antécédent de `0;
c. l'image de `4; un antécédent de `4;
d. l'opposé de `-6; l'inverse de `4.
`2) La fonction `f est-elle linéaire? constante? affine?

`8) On considère la représentation graphique de la fonction affine `f telle que:
`f(0)"4 et `f(1)"2.
a. Donner son ordonnée à l'origine.
b. Calculer son coefficient directeur.
Note
J'utilise la propriété du cours:
`a"„f(x?2)-f(x?1)/„x?2-x?1;
avec `x?1"0 et `x?2"1.

Représentation graphique

Pour les exercices `9 à `17, on utilise le graphique en annexe `1.
Les droites `(d?1), `(d?2), `(d?3) et `(d?4) sont respectivement les représentations graphiques de quatre fonctions affines `f?1, `f?2, `f?3 et `f?4.

`9) Parmi les fonctions `f?1, `f?2, `f?3, `f?4, lesquelles sont:
a. linéaires?
b. constantes?
c. affines?

`10) Par la fonction `f?1, donner:
a. l'image de `2;
b. l'image de `-2;
c. l'antécédent de `5;
d. l'antécédent de `-1.

`11) Par la fonction `f2, donner:
a. l'image de `-4?
b. l'image de `2?
c. l'antécédent de `3?
d. l'antécédent de `5?

`12) Par la fonction f3, donner si possible:
a. l'image de `-3;
b. l'image de `18;
c. un antécédent de `0;
d. un antécédent de `-2.

`13) Donner si possible un antécédent du nombre `2 par chacune des fonctions `f?1, `f?2, `f?3 et `f?4.

`14) Pour chaque droite `(d?1), `(d?2), `(d?3) et `(d?4):
a. donner les coordonnées du point d'intersection avec l'axe des ordonnées;
b. en déduire l'ordonnée à l'origine.

`15) Lire le coefficient directeur de la droite `(d?4).
En déduire l'expression de la fonction `f?4.

`16) Pour chacune des droites `(d?1) et `(d?2), lire le coefficient directeur de la droite et en déduire l'expression de la fonction qu'elle représente.

`17) Quel est le coefficient directeur de la droite `(d?3)?
Donner l'expression de la fonction `f?3.

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`18) On considère la fonction `f telle que:
`f: `x´55x-7.
Calculer l'image par la fonction `f de chaque nombre:
a. `0;
b. `8;
c. `-4;
d. `-2/5

`19) On considère la fonction `g telle que:
`g(x)"-3x!9.
Calculer l'antécédent par la fonction `g du nombre:
a. `0;
b. `3;
c. `-6;
d. `2.

Pour les exercices `20 à `22, on considère les trois fonctions suivantes:
`f?1: `x´5-3x;
`f?2: `x´52x!5;
`f?3: `x´57.

`20) Pour chaque fonction, calculer l'image de:
a. `0; b. `7; c. `-2,5; d. `-2/3.

`21) Pour chacune des fonctions `f?1 et `f?2, déterminer l'antécédent du nombre:
a. `0; b. `7;  c. `-2,5; d. `-2/3.

`22) Pour la fonction `f?3, rechercher les antécédents du nombre:
a. `0; b. `7; c. `-2,5; d. `-2/3.

Pour les exercices `23 à `25, les droites `(d?1), `(d?2) et `(d?3) sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines `f?1, `f?2 et `f?3.
Répondre à chaque question en utilisant le graphique en annexe 2.

`23) `1) Déterminer l'image par la fonction `f?1 de:
a. `0; b. `1; c. `-1; d. `5.
`2) Déterminer l'antécédent par la fonction `f?1 de:
a. `4; b. `1; c. `2; d. `-3.

`24) `1) Déterminer l'image par la fonction `f?2 de:
a. `2; b. `0; c. `-4; d. `1.
`2) Déterminer l'antécédent par la fonction `f?1 de:
a. `0; b. `1; c. `-2; d. `-3.

`25) Par la fonction `f?3, déterminer l'image de `0, l'image de `3, l'antécédent de `0 et l'antécédent de `3.

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`f est une fonction affine telle que:
`f(2)"4 et `f(5)"13.
On pose `f(x)"ax!b.
`1) Calculer le nombre `a.
`2) En déduire le nombre `b.
`3) Déterminer la fonction `f.

`28) Déterminer la fonction affine `h telle que: `h: `3´5-1 et `h: `0,5´54.

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Pour les exercices `36 à `39, les droites `(d?1), `(d?2), `(d?3) et `(d?4) sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines `f?1, `f?2, `f?3 et `f?4.
Voir annexe `3.

`36) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?1.
`37) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?2.
`38) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?3.
`39) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?4.

Pour les exercices `40 à `43, les droites `(d?1), `(d?2), `(d?3) et `(d?4) sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines `f?2, `f?3 et `f?4.
Voir annexe `4.

`40) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?1.
`41) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?2.
`42) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?3.
`43) Déterminer graphiquement la fonction affine `f?4.

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`55) Dans un même repère orthogonal, tracer la représentation graphique de chacune des fonctions:
a. `f: `x´57x-1;
b. `g: `x´5-9x;
c. `h: `x´5-3!2x;
d. `i: `x´5-8.

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Au brevet

`63) Toulouse `2006

La station de ski Blanche Neige propose les tarifs suivants pour l'année `2005:
Tarif A: chaque journée de ski coûte `20 ¤e;
Tarif B: en adhérant au club des sports dont la cotisation annuelle s'élève à 60 ¤e, on bénéficie d'une réduction de `30´ó sur le prix de chaque journée.

`1) Yann est adhérent au club des sports de la station. Sachant qu'il a déjà payé sa cotisation annuelle, expliquez pourquoi il devra payer `14 ¤e par journée de ski.

`2) Reproduire et compléter le tableau suivant: (les coûts sont en euros)
nombre de jours de ski en `2005; coût avec le tarif A; coût avec le tarif B.
`5; `100; `130.
`8; ...; ...
...; `220; ...
   
`3) On appelle `x le nombre de journées de ski durant l'année `2005 pour un utilisateur.
Exprimer en fonction de `x:
a. le coût annuel `¨c?¨a en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A;
b. le coût annuel `¨c?¨b en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.

`4) Yann, adhérent au club, a dépensé au total `242 ¤e. Pendant combien de jours a-t-il skié?

`5) Sur papier millimétré, dans un repère orthogonal, prendre:
en abscisses: `1 `cm pour `1 jour de ski;
en ordonnées: `1 `cm pour `10 euros.
-On placera l'origine du repère en bas à gauche de la feuille, l'axe des abscisses étant tracé sur le petit côté de la feuille.
-Tracer dans ce repère les représentations graphiques des fonctions affines `f et `g définies par:
`f(x)"20x et `g(x)"14x!60.

`6) Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique. On fera apparaître sur le graphique les traits nécessaires.

a. Léa doit venir skier douze journées en `2005.
Quel est pour elle le tarif le plus intéressant?
Quel est le prix correspondant?

b. En étudiant les tarifs, Chloé constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sont égaux.
Combien de journées de ski prévoit-elle de faire?
Quel est le prix correspondant?

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Devoir à la maison

`79) Un site Internet propose à ses clients de télécharger des titres de musique. Son offre commerciale, pour un mois, est la suivante:
Tarif simple: `0,40 ¤e par titre téléchargé;
Abonnement: un abonnement de `5 ¤e et chaque titre téléchargé facturé à seulement `0,25 ¤.
Forfait: un forfait de `10 ¤e donnant droit à `50 titres; chaque titre supplémentaire est facturé `1 ¤e.
On note `x le nombre de titres téléchargés par un client durant un mois.

`1) a. Déterminer la fonction `f qui permet de calculer le prix à payer avec le tarif simple.
b. Préciser la nature de sa représentation graphique. Justifier la réponse.

`2) a. Déterminer la fonction `g qui permet de calculer le prix à payer avec le tarif Abonnement.
b. Préciser la nature de sa représentation graphique. Justifier la réponse.

`3) On note `h la fonction qui permet de calculer le prix à payer avec l'option Forfait.
a. Justifier que `h(x)"10, lorsque `x est compris entre `0 et `50.
b. Démontrer que `h(x)"x–40, lorsque `x est supérieur ou égal à `50.

`4) Adaptation du tableau.
Pour chaque valeur de `x, on demande de calculer `f(x), `g(x) et `h(x).
`x: `40; `50; `60; `100.

`5) Représenter graphiquement les fonctions `f, `g et `h dans un même repère orthogonal d'unités:
`1 `cm pour `10 titres téléchargés en abscisses;
`1 `cm pour un prix à payer de `5 ¤e en ordonnées.

`6) Utiliser ce graphique pour déterminer, selon le nombre de titres téléchargés, le tarif le plus avantageux pour le client.