Phare `3^me
Chapitre 2
Calcul littéral

Page `39
Utilisation de la distributivité

`1) Développer chaque expression.
a. `3(x!5);
b. `-8(6!x);
c. `(-3x)(4!a);
d. `(y!2)*(-9x);
e. `x(x-7);
f. `-5a(9-a).

`2) Développer chaque expression.
a. `3(x!y!4);
b. `-4a(a!6!b);
c. `(x!3)(y!8);
d. `(3a!1)(5!4b);
e. `(5x!2)(2y-1);
f. `(3a-2)(5b-1).

`3) Supprimer les parenthèses.
a. `3!(a!b);
b. `3!(-a-b);
c. `5-(a!b);
d. `5-(a-b);
e. `9-(-a!b);
f. `9-(-a-b).

`4) Factoriser chaque expression.
a. `7a!7b;
b. `4*3,5-3,5*x;
c. `-5x!(-5)*y;
d. `-8x!56;
e. `-2ab!ac;
f. `4x^2!3x.

`5) Réduire chaque expression.
a. `13x!9x!2x;
b. `x!x;
c. `-7x-6x!x;
d. `4x^2!2,5x^2!3;
e. `-6y^2-8y!y^2;
f. `x-x^2!x!x^2-x.

`6) Réduire quand c'est possible.
a. `2x^2!5;
b. `10x^2!5x-3;
c. `x^2-4x-9x;
d. `5x^2-12x^2-6x;
e. `5y^2-y;
f. `3x-x^2-7x-4-6x^2.

`7) Développer et réduire chaque expression.
a. `(x!1)(x!2);
b. `(x!2)(x!5);
c. `(5!x)(x!1);
d. `(x!2)(3!x).

`8) Développer et réduire chaque expression.
a. `(x!1)(x-4);
b. `(x-1)(x!2);
c. `(x-1)(x-5);
d. `(x-2)(3-x).

`9) Déterminer le facteur commun.
a. `(x!4)(3x-7)!4(x!4);
b. `(3x-1)(y!5)-6(3x-1);
c. `(5x!2)(3x-7)!(5x!2);
d. `(3x-7)-(3x-7)(x!4).

Utilisation des identités remarquables

`10) Dire si les égalités suivantes sont vraies ou fausses. Justifier chaque réponse.
a. `5x^2"(5x)^2;
b. `36x^2"(6x)^2;
c. `4x^2"(-2x)^2;
d. `(3x)^2"6x^2;
e. `(-x)^2"x^2;
f. `-9x^2"(-3x)^2.

`11) Compléter:
a. `(5x)^2"...;
b. `(-3x)^2"...;
c. `-(3x)^2"...;
d. `36x^2"(...)^2;
e. `..."(2y)^2;
f. `49y^2"(...)^2.

`12) Développer chaque expression.
a. `(x!5)^2;
b. `(6!x)^2;
c. `(4!a)^2;
d. `(y!2)^2;
e. `(3!x)^2;
f. `(1!a)^2.

`13) Développer chaque expression.
a. `(x-5)^2;
b. `(3-x)^2;
c. `(2-a)^2;
d. `(3y-4)^2;
e. `(6-5x)^2;
f. `(1-2a)^2.

`14) Développer chaque expression.
a. `(x!5)(x-5);
b. `(x-5)(x!5);
c. `(5!x)(5-x);
d. `(5-x)(5!x).

`15) Développer chaque expression.
a. `(x!4)(x-4);
b. `(x-1)(x!1);
c. `(3!2x)(3-2x);
d. `(5x!3)(3-5x).

`16) Calculer astucieusement:
a. `101^2;
Note: j'ai utilisé `101^2"(100!1)^2.
b. `99^2;
c. `101 x 99;
d. `102^2;
e. `98^2;
f. `102 x 98;
g. `51 x 49;
h. `52 x 48;
i. `54 x 46.

`17) Factoriser chaque expression.
a. `x^2!6x!9;
b. `x^2-2x!1;
c. `x^2!10x!25;
d. `x^2-4x!4.

`18) Factoriser chaque expression.
a. `x^2-3^2;
b. `x^2-4;
c. `16-x^2;
d. `9x^2-25;
e. `1-100x^2;
f. `49a^2-9.

Page `40
Savoir-faire
`1) J'apprends à développer en utilisant la distributivité

Énoncé: développer puis réduire l'expression:
`¨e"3(4x-5)-(2x!7)(4x-5).

Je développe chaque produit figurant dans cette somme algébrique.
`¨e"3*4x!3*(-5)-à2x*4x!2x*(-5)!7*4x!7*(-5)ù
`¨e"12x-15-(8x^2-10x!28x-35)

Je supprime les parenthèses précédées d'un signe `- en changeant les signes à l'intérieur.
`¨e"12x-15-8x^2!10x-28x!35

Je réduis en ajoutant entre eux les termes ayant la même partie littérale.
`¨e"-8x^2!(12!10-28)x-15!35
`¨e"-8x^2-6x!20.

J'applique

`19) Développer chaque expression.
a. `a(x!2);
b. `-3(a!4);
c. `x(3-5a);
d. `-2b(-a!b);
e. `2x(x!3);
f. `-3y(y!5);
g. `-2x(x^2-7);
h. `-7y^2(-5-2y^2).

`20) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `¨a"3x!2!2(7!4x);
b. `¨b"4x!9!6(-7!x);
c. `¨c"2(1!3x^2)!x(4x-5);
d. `¨d"-3(a!2)!5(a-3).

`21) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `¨a"5x!7-3(8!5x);
b. `¨b"-7x!3-9(-2!x);
c. `¨c"3(1!6x^2)-4(4x^2-5);
d. `¨d"-4,1(2!x)-2,5x(-3-0,2x).

`22) Développer, puis réduire chaque expression.
a. `¨a"2(4x-5)!(5x!7)-3(8!5x);
b. `¨b"9(x-8)-(x^2-3x)-7(x-9);
c. `¨c"-3(1!4x)-4(5x!8)!x(4x-7);
d. `¨d"-5(-1!3x^2)-x(5!x)-2x(3-2x).

Pour les exercices de `23 à `27, développer, puis réduire, si possible, chaque expression.

`23)
a. `(x!5)(x!1);
b. `(2x-5)(x!4);
c `(2x-3)(3x-8);
d. `-(1!2x)(9x!1);
e. `-(2x!5)(3x-8);
f. `-(3x-3/7)(7x-14).

`24)
a. `¨a"4x!(2x!1)(5x-3);
b. `¨b"(x!3)(y!9)!10x-7;
c. `¨c"(3x-5)(7!6x)-(7!x);
d. `¨d"5x!1-(x!4)(x-9).

`25)
a. `¨a"3(x!2)!(7!4x)(7-6x);
b. `¨b"4(x!9)-(7!x)(x!1);
c. `¨c"-2(1-3x)-(3x!2)(x-5);
d. `¨d"-3(a^2!2)-(a-3)(2a!7).

`26)
a. `¨a"-5(x!5)!(3x-1)(-4x!3)!7x-9;
b. `¨b"2(7x^2-1)-(4!x)(x-6)-(x!7);
c. `¨c"7-5(2x!1)-(8-4x)(2x!9).

`27)
a. `¨a"(x!4)(x-6)!(-1!x)(x-7);
b. `¨b"(x-1)(5x-2)-(-6!3x)(-1!x);
c. `¨c"-(3x-8)(x!4)-(7x-8)(-1!7x);
d. `¨d"-(2x-5)(3-4x)!(6x-9)(-2x-1).

Page `41
Savoir-faire
`2) J'apprends à factoriser en utilisant la distributivité

Énoncé: factoriser chaque expression.
a. `¨f"(7x-8)(5x!4)-(7x-8)(x-1).
b. `¨g"(3x-5)^2!(3x-5).

Solution
a. Je remarque que `x-8 est un facteur commun aux deux termes de cette somme algébrique.
`¨f"(7x-8)(5x!4)-(7x-8)(x-1)
`¨f"(7x-8)à(5x!4)-(x-1)ù
`¨f"(7x-8)(5x!4-x!1)
`¨f"(7x-8)(4x!5).

b. Je mets en évidence le facteur commun `3x-5.
`¨g"(3x-5)^2!(3x-5)
`¨g"(3x-5)(3x-5)!(3x-5)*1
`¨g"(3x-5)à(3x-5)!1ù
`¨g"(3x-5)(3x-4).

J'applique
Pour les exercices `28 à `37, factoriser chaque expression

`28)
a. `4x!4;
b. `8x-8;
c. `4!2x;
d. `2x-8;
e. `9x^2-5x;
f. `6x!9.

`29)
a. `¨a"x(x!5)!x(3x-2);
b. `¨b"(x!5)(2x!1)!6(2x!1);
c. `¨c"-4x(2x!3)!(2x!3)(9x-2);
d. `¨d"-8x(5x-1)-8x(12-x).
Je remarque que:
`8x(12-x)"!(-8x)(12-x).

`30)
a. `¨a"-7x(x!2)-(7!x)(x!2);
b. `¨b"-9x(4x-5)-(4x-5)(1-2x);
c. `¨c"5(2x!3)-(3x-8)(2x!3);
d. `¨d"(1-2x)(9x-1)-(9x-1)(7!3x).

`31)
a. `¨a"(x!4)(x-6)!(-1!x)(x-6);
b. `¨b"(7x-4)(x!4)!(7x-4)(7x-1);
c. `¨c"(x!1)(5x-6)-(5x-6)(-1!4x);
d. `¨d"(3x!8)(x!4)-(x-1)(3x!8).

`32)
a. `¨a"(x!3)(y!9)!x!3;
b. `¨b"(a-5)(7!b)-(7!b);
c. `¨c"3x!1!(3x-1)(3x!1);
d. `¨d"x!5!(x!5)(6x!3).

`33)
a. `¨a"(9x!1)^2!9x!1;
b. `¨b"(7x-3)^2!7x-3;
c. `¨c"1!3x!(3x!1)^2;
d. `¨d"x-5!(x-5)^2.

`34)
a. `¨a"(2x!1)^2!(3x-8)(2x!1);
b. `¨b"(4x!3)^2!(2x-8)(4x!3);
c. `¨c"(5!x)(8-3x)!(x!5)^2;
d. `¨d"(3x-1)^2!(-1!3x)(5x!8).

`35)
a. `¨a"(4x!5)^2-(3x-6)(4x!5);
b. `¨b"(5x-2)^2-(5x-2)(x!3);
c. `¨c"(4-9x)(x!7)-(4-9x)^2;
d. `¨d"(4x!3)(x-5)-(x-5)^2.

`36)
a. `¨a"(3x-1)-(3x-1)^2;
b. `¨b"(7x!5)^2-(7x!5);
c. `¨c"(9x!7)^2-9x-7;
Je remplace `-9x-7 par `-(9x!7).
d. `¨d"(x!5)^2-x-5.

`37)
a. `¨a"(x-5)^2-x!5;
b. `¨b"(9x-4)^2!4-9x;
Je remarque que `4-9x"-(9x-4).
c. `¨c"(9x-4)^2!(4-9x)(x!7);
d. `¨d"(5x-8)^2-(8-5x)(x!2).

Page `42
Savoir-faire
`3) J'apprends à utiliser les identités remarquables

Énoncé:
`1) Développer l'expression: `¨e"(3x-7)^2.
`2) Factoriser l'expression: `¨h"36y^2-25.

Solution:
`1) Développons `¨e"(3x-7)^2
Je reconnais la forme `(a-b)^2 avec `a"3x et `b"7.
`¨e"(3x)^2-2*3x*7!7^2
`¨e"9x^2-42x!49.

`2) Factorisons `¨h"36y^2-25
Je reconnais une différence de deux carrés `a^2-b^2 avec `a"6y et `b"5.
`¨h"(6y)^2-5^2
`¨h"(6y!5)(6y-5).

J'applique
Pour les exercices de `35 à `45, développer, puis réduire chaque expression.

`38)
a. `(x!2)^2;
b. `(a!5)^2;
c. `(7!a)^2;
d. `(3x!5)^2;
e. `(6!5a)^2;
f. `(1/2„x;!3)^2.

`39)
a. `(x-3)^2;
b. `(4-a)^2;
c. `(b-7)^2;
d. `(6x-7)^2;
e. `(3-4b)^2;
f. `(4b-3)^2.

`40)
a. `(x!5)(x-5);
b. `(3!x)(3-x);
c. `(x-8)(x!8);
d. `(a-4)(a!4).

`41)
a. `(3x!1)(3x-1);
b. `(4-7x)(4!7x);
c. `(2x!5)(2x-5);
d. `(5!2x)(5-2x).

`42)
a. `(2x!3)^2
b. `(2x-3)^2;
c. `(2x!3)(2x-3);
d. `(2x-3)^2!(2x!3)^2.

`43)
a. `¨a"(x!1)^2-9;
b. `¨b"(4x!3)^2-x!6;
c. `¨c"(5x-3)^2-4(x!2);
d. `¨d"2(x!5)!(x!8)^2.

`44)
a. `¨a"4-(5x!1)^2;
b. `¨b"3(6x!2)-(7x-3)^2;
c. `¨c"(x!1)^2-(x!6)^2;
d. `¨d"(2x!1)^2-(2x-1)^2.

`45)
a. `¨a"(2x-5)^2!(2x!3)(2x-3);
b. `¨b"(x!2)^2-(x-5)^2!(x!4)(x-4).

`46) Recopier et compléter.
a.
`x^2!10x!25"(...)^2!2*...*...!(...)^2
`x^2!10x!25"(...!...)^2
b.
`4x^2-12x!9"(...)^2-2*...*...!(...)^2
`4x^2-12x!9"(...)^2

Pour les exercices de `47 à `52, factoriser chaque expression.

`47)
a. `x^2!8x!16;
b. `x^2!2x!1;
c. `x^2!10x!25;
d. `9x^2!6x!1.

`48)
a. `x^2-6x!9;
b. `x^2-4x!4;
c. `4x^2-12x!9;
d. `9x^2-30x!25.

`49)
a. `x^2-16;
b. `x^2-1;
c. `4-x^2;
d. `100-y^2;
e. `169-b^2;
f. `0,01-a^2.

`50)
a. `4x^2-1;
b. `16a^2-25;
c. `25-9b^2;
d. `4-36a^2;
e. `-49x^2!1;
f. `y^2-36/49'

`51)
a. `¨a"(x!1)^2-9;
b. `¨b"(4x!3)^2-1;
c. `¨c"4-(2x!1)^2;
d. `¨d"(5x-3)^2-x^2.

`52) Donner une valeur à `m de façon à pouvoir écrire les expressions sous la forme d'un carré d'une somme ou d'un carré d'une différence.
a. `x^2-6x!m;
b. `x^2-mx!100;
c. `x^2!mx!16;
d. `4x^2!mx!25;
e. `(2x)^2!4x!m;
f. `mx^2-40x!100.

Page `43
Je m'entraîne

Utilisation d'expressions littérales

Pour les exercices `53 à `58, on considère la figure en annexe `1 où `¨i¨j¨k¨l est un rectangle. `¨r?1, `¨r?2 et `¨r?3 sont des rectangles. On pose `¨i¨m"x et `¨j¨k"y.
Correspondances de couleurs:
`¨r?1: "vert"
`¨r?2: "orange"
`¨r?3: "bleu"

`53) `1) Quelles sont les valeurs possibles pour le nombre `x? pour le nombre `y?
`2) Exprimer à l'aide de `x et de `y les dimensions de chacun des rectangles `¨i¨j¨k¨l, `¨r?1, `¨r?2 et `¨r?3.

`54) `1) Pour quelle(s) valeur(s) de `x, le rectangle `¨r?1 est-il un carré?
`2) Pour quelle(s) valeur(s) de `y, le rectangle `¨i¨j¨k¨l est-il un carré?
`3) Pour quelles valeurs de `x et de `y, les figures `¨r?1 et `¨i¨j¨k¨l sont-elles des carrés?

`55) `1) Pour chacun des rectangles `¨r?1, `¨r?2 et `¨r?3:
a. écrire leur périmètre sous forme factorisée;
b. écrire leur périmètre sous forme développée;
c. calculer la somme de ces trois périmètres (on donnera une expression réduite);
`2) Calculer le périmètre du rectangle `¨i¨j¨k¨l.

`56) `1) Donner une expression développée de l'aire de chacun des rectangles `¨r?1, `¨r?2 et `¨r?3.
`2) Calculer la somme ces trois aires.
Pouvait-on prévoir ce résultat? Justifier la réponse.

`57) Trouver une valeur de `x et une valeur de `y pour que les figures suivantes soient simultanément des carrés:
a. `¨r?1 et `¨r?3;
b. `¨r?1 et `¨r?2;
c. `¨i¨j¨k¨l et `¨r?3.

`58) Dans cet exercice, on pose `y"2,5 `cm.
`1) Écrire en fonction de `x une condition permettant d'affirmer que `¨r?1 et `¨r?3 ont le même périmètre. Trouver la valeur de `x.
`2) Trouver une valeur de `x pour laquelle `¨r?1 et `¨r?3 ont la même aire.

Utilisation des identités remarquables

`59) `x et `y désignent des nombres. Écrire les expressions mathématiques correspondant à:
a. leur somme;
b. le carré de leur somme;
c. la somme de leurs carrés;
d. le produit de leur somme par leur différence;
e. la différence de leurs carrés;
f. le carré de leur différence;
g. le carré de leur produit;
h. le double de leur produit.

`60) Développer, puis réduire les expressions.
a. `¨a"(7x!3)^2-(x!2)(2x-9);
b. `¨b"(2x-3)(5-x)-(2x-3)^2.

`61) Lorsque c'est possible, factoriser en utilisant les identités remarquables.
a. `x^2-6x!9;
b. `2x^2!12x!3^2;
c. `x^2-81;
d. `x^2!16;
e. `9x^2-25;
f. `1-100x^2;
g. `25!x^2-20x;
h. `49a^2-9!42a;
i. `4x^2!y^2.

`62) Compléter en utilisant les identités remarquables.
a. `(3x!...)^2"...!...!25;
b. `(2x-...)^2"...-24x!...;
c. `(...)^2"...-16y!16;
d. `49a^2!...!25"(...)^2;
e. `4x^2-..."(	...-...)(...!1).

`63) Calculer sans utiliser la calculatrice:
`¨a"999'999^2;
Je remarque que: `999'999"1'000'000-1.
`¨b"1'000'002^2;
`¨c"1'004^2;
`¨d"999'999'998*1'000'000'002;
`¨e"65'189'678*65'189'682-65'189'680^2;
`¨f"(3/5!2/5)^2.

`64) `n étant un nombre entier, on considère la liste:
`2n!4, `2n, `2n-1, `2n!1, `2n-2, `2n!3, `2n!2.
Dans cette liste, reconnaître les nombres pairs et les ranger par ordre croissant.
Calculer le carré de chacun de ces nombres pairs.

Page `44
Au brevet

`65) Centres étrangers `2002
Recopier et compléter pour que les égalités soient vraies pour toutes les valeurs de `x.
`1) `(x!...)^2"...!6x!...
`2) `(...-...)^2"4x^2!25
`3) `...-64"(7x-...)(...!...)

`66) Océan indien `2002
On considère les expressions:
`¨e"4x(x!3) et `¨f"x^2!6x!9.
`1) a. Calculer la valeur de `¨f pour `x"-2.
Calculer la valeur de `¨e pour `x"0, puis pour `x"-3/7.
b. Vérifier que `¨f"(x!3)^2.
`2) a. Développer `¨e.
b. Réduire `¨e-¨f.
c. Factoriser `¨e!¨f.

`67) Paris `2006
`¨d"(2x!3)^2!(2x!3)(7x-2).
`1) Développer et réduire `¨d.
`2) Factoriser `¨d.
`3) Calculer `¨d pour `x"-4.

`68) Nancy-Metz `2006
On considère l'expression:
`¨e"(3x!2)^2-(5-2x)(3x!2).
`1) Développer et réduire l'expression `¨e.
`2) Factoriser `¨e.
`3) Calculer la valeur de `¨e pour `x"-2.

`69) Amérique du Sud `2005
`¨e"x^2-4 et `¨f"(x!2)(3x!1)-(x!2)(2x!3).
`1) Calculer `¨e pour `x"0, puis pour `x"1.
Calculer `F pour `x"0, puis pour `x"1.
`2) En factorisant `¨e et en factorisant `¨f, prouver que `¨e"¨f quelle que soit la valeur de `x.

`70) Amérique du Nord `2006
On considère l'expression `¨e:
`¨e"4x^2!8x-5.
`1) Calculer `¨e pour `x"0,5.
`2) On considère l'expression `¨f"(2x!2)^2-9.
a. Développer, puis réduire `¨f.
b. Factoriser `¨f.
c. En déduire une factorisation de `¨e.

`71) Polynésie `2007
On considère l'expression:
`¨e"9x^2-25!(3x-5)(2x!15).
`1) Développer et réduire l'expression `¨e.
`2) a. Factoriser `9x^2-25.
b. En déduire une factorisation de `¨e.

`72) Amérique du Nord `2000
On considère `¨a"(x-2)^2-(x-1)(x-4).
`1) Adaptation du tableau.
Calculer chaque expression ci-dessous pour: `x"10; `x"100.
`x-2
`(x-2)^2
`x-1
`x-4
`(x-1)(x-4)

`2) Développer et réduire `¨a.
`3) Utiliser ce qui précède pour calculer facilement: `1'234^2-1'235*1'232.

`73) Rennes `2002
`1) Développer et réduire l'expression:
`¨p"(x!12)(x!2).
`2) Factoriser l'expression: `¨q"(x!7)^2-25.
`3) `¨a¨b¨c est un triangle rectangle en `¨a et `x désigne un nombre positif. On donne `¨b¨c"x!7 et `¨a¨b"5. Faire un schéma et montrer que: `¨a¨c^2"x^2!14x!24.

`74) Amérique du Sud `2005
Soit `x un nombre positif compris entre `0 et `10. La figure en annexe `2 est effectuée à main levée.
`1) Calculer `¨a¨b et `¨a¨c lorsque `x"4. Lorsque `x"4, `¨a¨b¨c est-il un triangle rectangle? Justifier la réponse.
`2) Développer et réduire `(x!7)^2 et `(x!8)^2.
En déduire que: `¨a¨b^2-¨a¨c2"2x!15.
`3) Quelle est la valeur de `¨a¨b^2-¨a¨c^2 lorsque `x"0, lorsque `x"5? lorsque `x"10?
La valeur de `¨b¨c^2 dépend-elle du nombre `x?
Existe-t-il une valeur de `x pour laquelle le triangle `¨a¨b¨c est rectangle?

Page `45
Mon bilan

J'ai appris à:
-développer et réduire en utilisant la distributivité;
-mettre en facteur une expression littérale.
-développer, factoriser en utilisant les identités remarquables.

Pour les exercices `75 à `84:
Trouver la bonne réponse.
Attention! il peut y avoir plusieurs réponses exactes pour chaque énoncé.

`75) L'expression `5x(3x!2) peut être:
A. factorisée par `5x
B. développée
C. factorisée par `(3x!2)

`76) L'expression `5x(x-3)-7(x-3) peut être:
A. factorisée par `5x
B. développée
C. factorisée par `(x-3) 

`77) `(5x-9)(2x-1) égale:
A. `10x^2!9
B. `10x^2-23x-9
C. `10x^2-23x!9

`78) `(x!5)^2 égale:
A. `x^2!10x!25
B. `x^2!25
C. `x^2!10x!10

`79) `(3x-1)^2 égale:
A. `9x^2!6x-1
B. `3x^2-6x!1
C. `9x^2-6x!1

`80) `(7-3x)(7!3x) égale:
A. `7^2-3x^2
B. `49-9x^2
C. `14-9x^2

Pour les exercices `81) et `82), on considère l'expression:
`¨e"(3x!5)(x 2)-(x-2)(x!17).

`81) Une expression développée et réduite de `¨e est:
A. `2x^2-16x!24
B. `2x^2!14x-44
C. `(x-2)(2x-12)

`82) Une expression factorisée de `¨e est:
`2x^2-16x!24
`(x-2)(2x!22)
`(x-2)(2x-12)

`83) `25x^2-16 égale:
A. `(5x)^2-4^2
B. `(5x-4)(5x!4)
C. `(5x-4)^2

`84) Une expression factorisée de `16x^2-8x!1 est:
A. `8x(2x-1)!1
B. `(4x-1)^2
C. `(4x!1)^2

Page `46
J'approfondis

`85) On donne les expressions suivantes:
`¨a"(2x-3)(4x-1);
`¨b"(2x-3)^2!(2x-7)(6x-9).
`1) a. Calculer `¨a et `¨b pour `x"1,5.
b. Peut-on affirmer que les expressions `¨a et `¨b sont égales?
`2) a. Développer et réduire les expressions `¨a et `¨b.
b. Peut-on affirmer que les expressions `¨a et `¨b sont égales?

`86) On donne les expressions suivantes:
`¨a"(5x-1)(3x-4);
`¨b"(5x-1)^2-(2x!3)(5x-1).
`1) Calculer `¨a et `¨b pour `x"3.
`2) Peut-on affirmer que les expressions `¨a et `¨b sont égales?
`3) Démontrer que `¨a"¨b.

`87) On donne les expressions suivantes:
`¨a"(3x!1)(7x-1)!29x^2!1!3(7x-4);
`¨b"(5x!4)^2!(5x!4)(5x-7).
Démontrer que `¨a"¨b.

`88) On donne l'expression:
`¨a"(4x-5)^2-(4x-5)(7x!8).
`1) Développer et réduire l'expression `¨a.
`2) a. Factoriser l'expression `¨a.
b. Développer et réduire la forme factorisée obtenue. Que doit-on retrouver?

`89) `1) Développer, puis réduire:
`¨d"(a!5)^2-(a-5)^2.
`2) Sans utiliser la calculatrice, trouver la valeur de:
a. `10'005^2-9'995^2;
b. `(7/4!5)^2-(7/4-5)^2

`90) On donne l'expression:
`¨t"6(6x-9)!4(3!5x)-6(11x-7).
Sans calculatrice et astucieusement, calculer la valeur de `¨t:
pour `x"638,529,
puis pour `x"-11/2.

`91) On donne `ab"-3 et `a!b"5.
Calculer les valeurs numériques de chacune des expressions suivantes:
a. `¨x"(a!1)(b!1);
b. `¨y"(a-1)(b-1);
c. `¨z"(a!4)(b!4);
d. `¨t"(a-2)(b-2).

`92) Démontrer que `(a-b)^2"(b-a)^2.
En déduire que `(2x-3)^2"(3-2x)^2.

`93) Factoriser chaque expression:
a. `¨a"(x!1)^2-(x!7)^2;
Je reconnais une différence de deux carrés.
b. `¨b"(2x!5)^2-(2x!3)^2;
c. `¨c"(4x-7)^2-(3x!5)^2;
d. `¨d"(2!5x)^2-(4x-1)^2.

`94) Factoriser chaque expression:
a. `¨a"5x^2-20;
Je mets d'abord `5 en facteur.
b. `¨b"3x^2-27;
c. `¨c"28x^2-63;
d. `¨d"8x^2-18.

`95) Factoriser chaque expression:
a. `¨a"3x^2!12x!12;
Je mets d'abord `3 en facteur.
b. `¨b"5x^2-30x!45;
c. `¨c"4x^2-24x!36;
d. `¨d"-12x^2!12x-3.

`96) Factoriser chaque expression:
a. `¨a"x^2/4-25/9;
b. `¨b"(25a-15)!(10ab-6b);
c. `¨c"-5x^2-60x-20;
d. `¨d"(2x!1)^2-(x!7)^2.

`97) On donne l'expression:
`¨d"x^2!10x!25-(3x!4)^2.
`1) Développer, puis réduire `¨d.
`2) Factoriser `x^2!10x!25.
`3) En déduire une expression factorisée de `¨d.

`98) On donne l'expression:
`¨a"x^2-4x!4-z^2.
Factoriser `¨a en utilisant successivement deux identités remarquables.

`99) `1) Factoriser chaque expression:
`¨f"9x^2-48x!64;
`¨g"(3x-7)^2-1.
`2) On pose `¨h"¨f!¨g. Factoriser `¨h.

`100) On donne l'expression:
`¨a"(6x-4)(x!7)-(9x^2-4).
`1) Développer et réduire `¨a.
`2) a. Factoriser `6x-4.
b. Factoriser `9x^2-4.
`3) En déduire une expression factorisée de `¨a.

`101) On donne l'expression:
`¨c"20x^2-60x!45-(2x-3)(x!7).
`1) Développer et réduire `¨c.
`2) Factoriser `20x^2-60x!45.
`3) En déduire une expression factorisée de `¨c.

`102) Annexe `3.
`¨i¨j¨k¨l est un carré. On donne `¨i¨a"9 `cm. `x désigne un nombre positif.
Chaque sommet du carré `¨a¨b¨c¨d appartient à l'un des côtés du carré `¨i¨j¨k¨l.
`1) Exprimer en fonction de `x l'aire du carré `¨i¨j¨k¨l.
2) En déduire, en fonction de `x, l'aire de `¨a¨b¨c¨d.
Développer et réduire l'expression obtenue.

`103) Annexe `4.
Un trapèze est un quadrilatère qui a deux cotés opposés parallèles appelés les bases du trapèze. Démontrer que l'aire d'un trapèze est donné par la formule:
`¨a"(b!¨b)*„h/2;
Indice: je partage le trapèze en deux en traçant une diagonale.

`104) On considère les figures `1. à `5. en annexe `5.

`1) Pour chaque trapèze, utiliser la formule de l'exercice précédent pour exprimer en fonction de `x son aire. Développer et réduire chacune de ces expressions.
`2) Déterminer en fonction de `x une expression développée de la somme des aires des trois triangles.
`3) Une fois assemblées correctement, ces cinq figures forment un carré.
a. Calculer, en fonction de `x, l'aire de ce carré.
b. En déduire la longueur de son côté.
c. Dessiner le carré formé des cinq pièces.

Pour les exercices `105 et `106, la figure en annexe `6 est formée de trois demi-cercles respectivement:
vert: grand cercle;
orange: cercle moyen;
violet: petit cercle.
Le diamètre du demi-cercle vert est `20. Le diamètre du demi-cercle orange est `x où `x désigne un nombre positif inférieur à `20.

`105) `1) Donner, en fonction de `¤p et de `x si nécessaire, une expression développée et réduite de la longueur de chacun des demi-cercles vert, orange et violet.
`2) En déduire le périmètre de la figure.

`106) `1) Montrer que l'aire de la figure est `100¤p-5¤px.
`2) Calculer cette aire lorsque `x"0, puis lorsque `x"20.
À quelles figures correspondent chacun de ces résultats?

Page `48
Devoir à la maison

`107) On donne l'expression:
`¨a"(2x-3)^2-(4x!7)(2x-3).
`1) Développer et réduire l'expression `¨a.
`2) Factoriser l'expression `¨a.
`3) Calculer `¨a pour `x"0, `x"-5, puis pour `x"3/2.

`108) `¨b"4x(5x-2)!25x^2-4.
`1) Développer et réduire l'expression `¨b.
`2) Factoriser `25x^2-4.
En déduire une expression factorisée de `¨b.

`109) Démontrer les trois propositions suivantes dues à Viète, mathématicien du XVI^e siècle.
`1) Le carré de la différence de deux nombres ajouté à quatre fois leur produit est égal au carré de leur somme.
`2) Le double de la somme des carrés de deux nombres, diminué du carré de la somme de ces deux nombres, est égal au carré de leur différence.
`3) Lorsque l'on divise la différence des carrés de deux nombres par la somme des nombres, on obtient leur différence.

`110) Annexe `7.
`¨a¨e¨f¨g, `¨a¨h¨i¨j et `¨a¨b¨c¨d sont des carrés.
`1) Calculer `¨a¨h en fonction de `x.
`2) En déduire l'aire de la partie "violette" (texturée) en fonction de `x.
`3) Développer et réduire l'expression:
`¨q"(4-x)^2-4.
`4) Factoriser l'expression `¨q.
`5) Calculer l'expression `¨q pour x"2.
Que traduit ce résultat pour la figure?

`111) `1) Démontrer que la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres.
`2) Démontrer que tout entier impair est la différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs.

`112) Annexe `8.
`¨a¨b¨c¨d est un carré de côté `2a. Chaque côté du carré est le diamètre d'un demi-cercle.
Montrer que l'aire de la partie "colorée" (texturée) est `(2n-4)a^2.

`113) Annexe `9.
`Soit `¨a¨b¨c un triangle rectangle isocèle en `¨a tel que `¨a¨b"5 `cm.
On place un point `¨e sur le segment `à¨a¨bù tel que `¨b¨e "x.
Sur la demi-droite `à¨a¨c), on place un point `¨f tel que `¨c¤1à¨a¨fù et `¨c¨f"x.
La droite `(¨e¨f) coupe la droite `(¨b¨c) en un point `¨o.
La droite perpendiculaire à la droite `(¨a¨b) passant par le point `¨e coupe la droite `(¨b¨c) en un point `¨t.
Montrer que l'aire du triangle `¨o¨t¨e est égale à l'aire du triangle `¨o¨c¨f.