Équations de droites
2nde. Programme 2019

1) Équations de droites.
--Équation réduite et coefficient directeur
--Vecteur directeur
--Équation cartésienne
2) Droites parallèles, droites sécantes
--Droites parallèles, points alignés
--Droites sécantes, point d'intersection

I. Équations de droites
1) Équation réduite et coefficient directeur
Rappel:
Calcul du coefficient directeur: dans un repère, si `¨a(x?¨a;y?¨a) et `¨b(x?¨b;y?¨b) sont deux points tels que `x?¨a¨"x?¨b, alors le coefficient directeur de la droite `(¨a¨b) est:
`'„y?¨b-y?¨a;/„x?¨b-x?¨a;
Propriété:
Dans un repère, on considère une droite `(d).
Si `(d) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées alors `(d) admet une équation de la forme `y"ax!b où `a et `b sont deux nombres réels.
Si `(d) est parallèle à l'axe des ordonnées alors `(d) admet une équation de la forme `x"c où `c est un nombre réel.
Exemples:
voir annexe 1.
a) la droite d'équation `x"2
b) la droite d'équation `x"-3.

2) Vecteur directeur
Définition:
On appelle vecteur directeur d'une droite `d tout vecteur `¨:¨a¨b où `¨a et `¨b sont deux points distincts de `d.
Propriété:
Un vecteur `¨:u est un vecteur directeur d'une droite `d s'il existe deux points distincts `¨a et `¨b de `d tels que `¨:¨a¨b"¨:u.
Voir schéma en annexe `2.

Remarque:
Un vecteur directeur d'une droite ne peut pas être nul car les points `¨a et `¨b sont distincts.
Propriété:
Soient `d une droite du plan, le point `¨a appartient à `d et `¨:u est un vecteur directeur de `d.
Un point `¨m du plan appartient à `d si et seulement si les vecteurs `¨:u et `¨:¨a¨m sont colinéaires, c'est-à-dire `det(¨:u;¨:¨a¨:m)"0.

3) Équation cartésienne
Définition:
Dans un repère du plan, toute droite `d admet une équation de la forme: `ax!by!c"0 avec `(a;b)¨"(0;0).
Cette équation est appelée équation cartésienne de `d.
Remarque:
Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes. Ainsi, la droite `d d'équation `3x-y!1"0 a aussi pour équation `6x-2y!2"0 ou toute équation équivalente.
Propriété:
`a, `b et `c sont des nombres réels avec `(a;b)¨:(0;0).
Dire que `d admet pour équation `ax!by!c"0 signifie qu'un point `¨m(x?¨m;y?¨m) appartient à la droite `d si, est seulement si, ses coordonnées vérifient cette équation `(ax?¨m!by?¨m!c"0).
Exemple:
Soit `d la droite du plan d'équation `d: `-5x!3y-8"0.
Le point `¨a(2;6) appartient-il à `d? 
Même question pour le point `¨b(-2;-1)?

Propriété:
Dans un repère du plan, toute droite admettant une équation de la forme: `ax!by!c"0 avec `(a;b)¨"(0;0) admet `¨:u(-b;a) comme vecteur directeur.