Chapitre 8 Fonctions de référence
2nde Programme 2019

Contenu:
I) Rappels sur les fonctions affines
1) Définition
2) Représentation graphique
3) Sens de variation
II) Fonction carré
1) Définition
2) Sens de variation
3) Représentation graphique
III) Fonction cube.
IV) Fonction inverse.
V) Fonction racine carrée.

Symboles braille maths:
--l'ensemble R étoile s'écrit: `¨¨r^´*
--`0 exclu de l'ensemble ¨¨r: `¨¨r´/¨(0¨)

I. Rappels sur les fonctions affines
1) Définition
Une fonction affine est une fonction `f définie sur ¨¨r qui à tout nombre réel `x associe le nombre `ax!b, où `a et `b sont des nombres réels donnés.
On a: `f (x)"ax!b.
2) Représentation graphique
a) Propriété, voir annexe 1
La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère est une droite.
Si la droite `¨´d est la représentation graphique de la fonction `f(x)"ax!b:
--`a est appelé cœfficient directeur de la droite `¨´d; on peut le calculer ainsi:
`'a"„f(v)-f(u);/„v-u; où `u et `v sont deux nombres réels;
--le point de coordonnées `(0;b) appartient à `¨´d et le nombre `b est appelé ordonnée à l'origine de la droite `¨´d.
b) Cas particuliers.
--Lorsque `b"0, on dit que `f est une fonction linéaire.
Voir annexe 2
Dans un repère, une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.
--lorsque `a"0, on dit que `f est une fonction constante.
Dans un repère, une fonction constante est représentée par une droite parallèle à l'axe des abscisses.
3) Sens de variation
Propriété
Soit `f(x)"ax!b une fonction affine.
--Si `a´@0 alors `f est strictement croissante sur ¨¨r.
--Si `a´ê0 alors `f est strictement décroissante sur ¨¨r.
--Si `a"0 alors f est constante sur ¨¨r.

II. Fonction carré
1) Définition
On appelle fonction carré la fonction `x´5x^2 (`x a pour image `x^2).
Exemples
--L'image de 3 par la fonction carré est 9.
--L'image de `-3 par la fonction carré est 9.
--Les antécédents de 4 par la fonction carré sont 2 et `-2.

Propriété
La fonction carré `x¸5x^2 est définie sur ¨¨r.
Cette fonction est paire (pour tout `x, `f(-x)"f(x)), donc la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées `(¨oy).
Justification:
En effet, on peut calculer `x^2 pour n'importe quelle valeur de `x¤1¨¨r (`x appartient à ¨¨r).
Et pour tout `x, `f(-x)"(-x)^2"x^2"f(x).

2) Sens de variation, voir annexe 4.
Propriété
`f:x´5x^2 est décroissante sur `ù-¤c;0ù et croissante sur `à0;!¤cà.

3) Représentation graphique
Pour tracer la courbe représentative de cette fonction, on remplit un tableau de valeurs:
Adaptation du tableau:
x"-3; f(x)"9
x"-2,5; f(x)"6,25
x"-2; f(x)"4
x"-1,5; f(x)"2,25
x"-1; f(x)"1
x"-0,5; f(x)"0,25
x"0; f(x)"0
x"...; f(x)"...
x"0,5; f(x)"0,25
x"1; f(x)"1
x"1,5; f(x)"2,25
x"2; f(x)"4
x"2,5; f(x)"6,25
x"3; f(x)"9

On place ces points dans un repère orthonormé d'unités 1 cm: voir annexe 5.
Cette courbe est appelée parabole.

III. Fonction cube
Définition
On appelle fonction cube la fonction `f: `x´5x^3.
Propriété
--Cette fonction est définie sur ¨¨r.
--Elle est impaire (`f(-x)"-f(x) pour tout `x) (donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine `¨o).
--Elle est croissante sur ¨¨r.
Son tableau de variation est: voir annexe 6.
Sa courbe représentative: voir annexe 7.

IV) Fonction inverse
1) Définition:
On appelle fonction inverse la fonction `x´51/x
Propriété:
La fonction inverse `x´51/x est définie sur `¨¨r^´*
`¨¨r^´*"¨¨r´/¨(0¨)"ù-¤c;0à¸!ù0;!¤cà.
La fonction inverse `f: `x´51/x est impaire, c'est-à-dire `f(-x)"-f(x) pour tout `x¨"x0.
La courbe représentative de `f est donc symétrique par rapport à `¨o.

Démonstration:
--`f est définie sur `¨¨r^´* et `¨¨r^´* est symétrique par rapport à `¨o.
--Pour tout `x¤1¨¨r^´*, `f (-x)"1/-x"-1/x"-f(x)

`2) Sens de variation.
Propriété:
`f: `x´51/x est décroissante sur `ù-¤c;0à et décroissante sur `ùù0;!¤cà.
Attention, on ne peut parler de variation que sur un intervalle; il est faux de dire que `f est décroissante sur `¨¨r^´*:
par exemple: `-2´ê2; `f(-2)"-1/2, `f(2)"1/2 donc `f (-2)´ê(2)

Tableau de variation.
Voir annexe 8.
`0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

Démonstration:
1. Sur `à0;!¤cà: soient deux réels `x?1 et `x2 quelconques de `ù0;!¤cà avec `0¤êx?1´êx?2.
Il s'agit de comparer les nombres `f(x`?1)"1/x?1 et `f(x?2)"1/x?2.
`f(x?2)-f(x?1)"1/x^2-1/x?1"„x?1-x?2;/„x?1x?2;.
`x?1-x^2´ê0 car `x?1´êx^2; `x?1x?2´@0 comme produit de nombres positifs. Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc `f est décroissante sur `ù0;!¤cà.

2. Sur `ù-¤c;0à: soient deux réels `x?1 et `x?2 quelconques de `ù-¤c;0à avec `¤êx?1´êx?2´ê0.
On a le même calcul:
`f(x?2)-f(x?1)"1/x^2-1/x?1"„x?1-x?2;/„x?1x?2;.
`x?1-x^2´ê0 car `x?1´êx^2; `x?1x?2´@0 comme produit de nombres négatifs. Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc `f est décroissante sur `ù-¤c;0à.
Remarque: sur `ù-¤c;0ù, on aurait pu utiliser la symétrie de la courbe par rapport à `¨o.

3) Courbe représentative
Pour tracer la courbe, on trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points.
Avec `f(x)"1/4
--`x"1/4; f(x)"4
--`x"1/2; f(x)"2
--`x"1; f(x)"1
--`x"2; f(x)"1/2
--`x"4; f(x)"1/4

Voir courbe en annexe 9:
La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole. Elle est constituée de deux branches (symétriques par rapport à l'origine `¨o).

V. Fonction racine carrée
Définition:
On appelle fonction racine carrée la fonction `f: `´5@x
Propriété:
--Cette fonction est définie sur `à0;!¤cà (car on ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif)
--Elle est croissante sur `à0;!¤cà.
Tableau de variation: voir annexe 10.
Courbe représentative: voir annexe 11.