Chapitre 7 Probabilités et échantillonnage

I. Modéliser une expérience aléatoire
1. Loi de probabilité
2. Évènements
II. Calculs de probabilités

I. Modéliser une expérience aléatoire
1. Loi de probabilité
Définition:
L'univers d'une expérience aléatoire est l'ensemble de toutes ses issues. On le note `¨¤w.
Définir une loi de probabilité sur `¨¤w, c'est associer à chaque issue une probabilité, c'est-à-dire un nombre positif ou nul, de telle façon que la somme des probabilités de toutes les issues soit égale à 1.
Exemple (1)
Une urne contient 6 boules (indiscernables au toucher) numérotées de 1 à 6. On tire une boule au hasard.
La loi de probabilité associée à cette expérience est:
Adaptation du tableau comme suit:
I pour issue; P pour probabilité
En-tête: issue; probabilité
--I: 1; P: `1/6
--I: 2; P: `1/6
--I: 3; P: `1/6
--I: 4; P: `1/6
--I: 5; P: `1/6
--I: 6; P: `1/6

Remarque: dans cet exemple, toutes les probabilités sont égales: on est dans une situation d'équiprobabilité.
Dans ce cas, la probabilité d'une issue est `1/n, où `n est le nombre total d'issues.

Exemple (2)
On lance un dé qui a une face rouge, deux faces vertes et trois faces noires. La loi de probabilité associée à cette expérience est:
Tableau adapté comme suit:
I: issue, P: probabilité
--I: rouge; P: `1/6
--I: vert; P: `1/3
--I: noir; P: `1/2

2. Évènements
Définitions: La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
Exemple:
Voici la loi de probabilité d'un dé pipé:
Tableau adapté comme suit:
I: issue, P: probabilité
--I: 1; P: 0,15
--I: 2; P: 0,15
--I: 3; P: 0,15
--I: 4; P: 0,15
--I: 5; P: 0,15
--I: 6, P:0,25

Si `¨a est l'évènement: "la face est paire", `¨a"¨(2;4;6¨) donc `p(¨a)"0,15!0,15!0,25"0,55
`¨b est l'évènement: "la face est un multiple de 3" `¨b"¨(3;6¨)
`p(¨b)"0,15!0,25"0,4

Définitions:
`¤0 est appelé évènement impossible: `p(¤0)"0.
`¨e est appelé évènement certain: `p(¨e)"1.
Remarque: si `¨a est un évènement, `0¤2p(¨a)¤21.

Propriété:
Dans le cas d'une loi équiprobable, la probabilité d'un événement `¨a est:
`p(¨a)" nombre d'issues réalisant `¨a `/ nombre d'issues dans `¨e
`p(¨a)" nombre de cas favorables `/ nombre total de cas
Exemple:
On tire une carte au hasard d'un jeu de 32 cartes.
Soient `¨a, `¨b, et `¨c les événements suivants:
`¨a: la carte est le roi de cœur
`¨b: la carte est un cœur
`¨c: la carte est un roi
Alors
`p(¨a)"1/32
`p(¨b)"8/32"1/4
`p(¨c)"4/32"1/8

II. Calculs de probabilités
Définitions
Soient `¨a et `¨b deux événements.
L'événement "`¨a et `¨b", noté `¨a¤!¨b est constitué des issues qui réalisent à la fois `¨a et `¨b. (On lit "`¨a inter `¨b".)
Voir schéma en Annexe 1
L'événement "`¨a ou `¨b", noté `¨a¸!¨b est constitué des issues qui réalisent au moins un des événements `¨a ou `¨b. (On lit "`¨a union `¨b").
Voir Annexe 1 et 2.

Définitions:
L'événement contraire de `¨a, noté `¸:¨a est constitué des issues qui ne réalisent pas `¨a.
Les événements `¨a et `¨b sont incompatibles s'ils n'ont aucune issue en commun.
Exemple:
Avec les notations `¨a, `¨b, `¨c de l'exemple précédent:
`¨b¤!¨c"¨a
`¨b¸!¨c: la carte est un cœur ou un roi.
¸:¨b: la carte n'est pas un cœur.

Propriété:
`p(¨a¸!¨b)"p(¨a)!p(¨b)-p(¨a¤!¨b)
`p(¸:¨a)"1-p(¨a)

Exemple:
Calculer les probabilités des événements suivants:
`¨e: la carte est un cœur ou un roi;
`¨f: la carte n'est ni un cœur, ni un roi.
`p(¨e)"p(¨b¸!¨c)
`"p(¨b)!p(¨c)-p(¨b¤!¨c)
`"1/4!1/8-1/32
`"8/32!4/32-1/32
`"11/32
`p(¨f)"p(¸:¨e)"1-p(¨e)"1-11/32"32/32-11/32"21/32