Fonctions: étude graphique et variations
2^nde
Programme 2019

Sommaire:
I. Courbe représentative d’une fonction
1) Définition
2) Lecture graphique d’images et d’antécédents
3) Parité d’une fonction
II. Résolutions graphiques
1) Résolution graphique d’équations
2) Résolution graphique d’inéquations
III. Étude des variations d’une fonction
1) Introduction: notions intuitives
2) Fonction croissante, décroissante sur un intervalle
3) Maximum et minimum d’une fonction sur un intervalle

I. Courbe représentative d’une fonction
1) Définition
Définition:
Dans le plan muni d’un repère, une fonction f définie sur un ensemble de nombre `¨´e est représentée par l’ensemble des points de coordonnées `(x;f(x)), appelé ¸courbe ¸représentative ¸de f.
Elle est souvent notée `¨´C?f.

2) Lecture graphique d’images et d’antécédents
Voir annexe `1 page `1.
Exemple:
Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur `à-2;4ù.
1. Quelle est l’image de `3 par f?
2. Par f, quels sont les antécédents de:
--`-1?
--1?
--3?
Par lecture graphique:
--l’image de 3 par f est environ 0,8.
--`-1 n’a pas d’antécédent par `f.
--1 a deux antécédents par `f: environ `-1,4 et `3,4.
--3 a un unique antécédent par f: environ `-1,9.

3) Parité d’une fonction
Définition:
`f est une fonction définie sur un ensemble de nombre `¨´e symétrique par rapport à zéro.
--Si `f(-x)"f(x) pour tout `x dans `¨´e, alors on dit que `f est une fonction ¸paire.
--Si `f(-x)"-f(x) pour tout `x dans `¨´e, alors on dit que `f est une fonction ¸impaire.

Exemples:
--Soit `f définie sur ¨¨r par `f(x)"=x^2!3
`f est paire car pour tout nombre réel a, on a:
`f(-a)"(-a)^2!3"a^2!3"f(a)
--Soit g définie sur ¨¨r par `g(x)"x^3
`g est impaire car
`g(-a)"(-a)^3"-a*(-a)^2"-a^3"-g(a).

Propriété:
`f est une fonction définie sur un ensemble symétrique par rapport à zéro.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal:
--`f est paire si et seulement si l’axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe `y"f(x).
--`f est impaire si et seulement si l’origine est un centre de symétrie de la courbe d’équation `y"f(x).


II. Résolutions graphiques
1) Résolution graphique d’équations
Méthode:
Résoudre l’équation `f(x)"k c’est déterminer tous les antécédents éventuels d’un nombre k, c’est-à-dire chercher tous les x de l’ensemble de départ tels que `f(x)"k.

Exemple:
Voir annexe 2 page 2.
Voici la courbe représentative de la fonction f définie sur ¨¨r par `f(x)"2x^2-9x!10. On recherche les solutions de l’équation `f(x)"3.
On cherche les points de la courbe ayant pour ordonnée 3. Pour cela on peut tracer la droite d’équation `y"3 et chercher les points d’intersection de cette droite avec la courbe de f. On obtient ici deux points `¨m?1(1;3) et `¨m?2(7/2;3).
Les solutions sont leurs abscisses: 1 et `7/2.

Méthode:
Pour résoudre une équation de la forme `f(x)"g(x), on cherche les nombres de l’ensemble de départ qui ont la même image par f et par `g: ce sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes.

Exemple:
Voir annexe `3 page `3.
Voici les courbes représentatives de deux fonctions f et `g définies sur ¨¨r.
Résoudre graphiquement l’équation `f(x)"g(x).
On cherche les points d’intersection des deux courbes, ici `¨m?1 et `¨m?2, et les solutions de l’équation sont leurs abscisses dont les valeurs approximatives sont `-1,5 et 2,2. Les solutions sont donc `x´"-1,5 et `x´"2,2.

2) Résolution graphique d’inéquations
Méthode:
Pour résoudre graphiquement une inéquation de la forme `f(x)¤2k:
--on trace soigneusement `¨´c?f dans un repère (orthogonal)
--on trace la droite d’équation `y"k
--on recherche les points de la courbe situés ¸sous la droite
--l’ensemble des solutions est constitué des abscisses de ces points.

Exemple:
Sur le 1^er exemple du 1), si l’on doit résoudre `f(x)¤23, après avoir tracé `y"3 on constate que les points de la courbe situés sous cette droite ont leurs abscisses comprises entre 1 et `7/2.
Donc
`f(x)¤23´:,x¤1à1;7/2ù
--On résout de la même manière les équations du type `f(x)¤@k.
On retient alors les abscisses des points situés ¸au-dessus de la droite d’équation `y"k. Dans l’exemple:
`f(x)¤@3´:,x¤1ù-¤c;1ù¸!à7/2;!¤cà
--De même pour les inéquations strictes: `f(x)´@k ou `f(x)´2k.
On exclura alors les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite. Dans l’exemple:
`f(x)´23´:,x¤1ù1;7/2à

Voir annexe 4 page 4.

III. Étude des variations d’une fonction
1) Introduction: notions intuitives
Voir annexe 5 page 5.
Voici la courbe représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle `à-2;5ù.
Sens de variation de f:
--Sur `à-2;0ù: la courbe "monte de gauche à droite" sur `à-2;0ù.
On dit que `f est ¸croissante sur `à-2;0ù.
--Sur `à0;4ù: la courbe "descend de gauche à droite" sur `à0;4ù.
On dit que f est ¸décroissante sur `à0;4ù.
--Maximum de `f sur `à-2;5ù: le point de coordonnées `(0;6) est "le plus haut" de la courbe sur `à-2;5ù.
On dit que 6 est le ¸maximum de `f sur `à-2;5ù; il est atteint en `0.
--Minimum de `f sur `à-2;5ù: le point de coordonnées `(4;-2) est "le plus bas" de la courbe sur `à-2;5ù.
On dit que `-2 est le ¸minimum de `f sur `à-2;5ù; il est atteint en 4 et en `-2.

On résume le sens de variation de `f dans un ¸tableau ¸de ¸variation:
Voir annexe 6 page 6.

2) Fonction croissante, décroissante sur un intervalle
Soit f une fonction définie sur un intervalle ¨i.
Voir annexe `7 page `6.
--Dire que `f :¸est croissante sur l’intervalle ¸¨i signifie que sur l’intervalle ¨i, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images `f(x) augmentent aussi.
--Dire que `f est croissante sur ¨i signifie que pour tous nombres réels `x?1 et `x?2 de ¨i, si `x?1¤2x?2 alors `f(x?1)¤2f(x?2).
Autrement dit, :¸une fonction croissante conserve ¸l’ordre.

Voir annexe 8 page 7.
--Dire que `f :¸est décroissante sur l’intervalle ¸¨i signifie que sur l’intervalle ¨i, si les valeurs de la variable x augmentent, alors les images `f(x) diminuent.
--Dire que `f est décroissante sur ¨i signifie que pour tous nombres réels `x?1 et `x?2 de ¨i, si `x?1¤2x?2 alors `f(x?1)¤@f(x?2).
Autrement dit, :¸une fonction décroissante change ¸l’ordre.

3) Maximum et minimum d’une fonction sur un intervalle
`a désigne un nombre réel de l’intervalle ¨i.
Définition (Maximum):
Dire que `f(a) est le maximum de `f sur ¨i signifie que pour tout `x de ¨i, on a `f(x)¤2f(a).
Graphiquement: le maximum est l’ordonnée du point le plus haut de la courbe de `f.
Définition (Minimum):
Dire que `f(a) est le minimum de `f sur ¨i signifie que pour tout `x de ¨i, on a `f(x)¤@f(a).
Graphiquement: le minimum est l’ordonnée du point le plus bas de la courbe de `f.