Mémento de Géométrie

`1) À propos du codage

Une observation faite sur un dessin est une conjecture.
Une observation ou des mesures effectuées avec un instrument sur un dessin ne sont jamais des preuves.
Des informations sont sûres si elles sont écrites dans l'énoncé ou codées sur un dessin donné dans l'énoncé.
Le codage sert à marquer sur un dessin uniquement les données qui sont sûres. Pour cela, il faut connaître et utiliser certains codages:

Longueurs égales:
Voir figure p. `1

Codage des angles égaux:
Voir figure p. `1

Codage de deux droites perpendiculaires: 
Voir figure p. `1

`2) Droites et segments

Définitions: Deux droites sont sécantes quand elles se coupent en un seul point sinon elles sont parallèles.
Deux droites perpendiculaires sont définies comme deux droites sécantes déterminant quatre angles égaux (qui sont des angles droits).
Théorème: Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.
Définition: Le milieu d'un segment est le point qui appartient à ce segment qui est à égale distance de ses extrémités.

Exemple: voir figure p. `2
`'¨i est le milieu du segment `'à¨e¨nù donc `'¨i, `'¨n et `'¨e sont `3 points alignés et `'¨i¨n"¨i¨e"¨n¨e/2

Définition: La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par le milieu du segment.
voir figure p. `2

Théorèmes: Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est à égale distance des extrémités de ce segment.
Si un point est à égale distance des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

`3) Les angles
Le dessin suivant représente l'angle `'¤:x¨ay
voir figure p. `2

Définition: La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

Définitions: Dire que deux angles sont complémentaires signifie que leur somme est égale à `'90´o.
Dire que deux angles sont supplémentaires signifie que leur somme est égale à `'180´o.

Définition: Dire que deux angles sont adjacents signifie que:
-ils ont le même sommet et un côté commun; 
-ils sont de part et d'autre de ce côté commun.
Exemple: voir figure p. `3

Définition: Dire que deux angles sont opposés par le sommet signifie que ces deux angles sont symétriques par rapport à leur sommet.

Théorème: Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont égaux.

Définition: Soient deux droites `'(d) et `'(d') coupées par une sécante, dire que deux angles sont alternes-internes signifie que:
–ils n'ont pas le même sommet;
–ils sont de part et d'autre de la sécante;
–ils sont à l'intérieur de la bande délimitée par les droites `'(d) et `'(d').

Exemple: voir figure p. `3
Les deux angles formés par les droites `'(d) et `'(d') coupées par la sécante `'(¨m¨n) sont alternes-internes.

Définition: Soient deux droites `'(d) et `'(d') coupées par une sécante, dire que deux angles sont correspondants signifie que:
–ils n'ont pas le même sommet;
–ils sont du même côté de la sécante;
–l'un est à l'intérieur de la bande délimitée par les droites `'(d) et `'(d'), l'autre est à l'extérieur.

Exemple: voir figure p. `4
Les deux angles formés par les droites `'(d) et `'(d') coupées par la sécante `'(¨m¨n) sont correspondants.

Théorèmes: Si deux angles alternes internes sont formés par deux droites parallèles coupées par une sécante alors ces deux angles sont égaux.
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes égaux alors ces droites sont parallèles.

`4) Les triangles

Propriétés du triangle
Théorème: Si une figure est un triangle alors la somme de ses trois angles est égale à `'180´o.

Théorème: Si une figure est un triangle alors la longueur de chaque côté est toujours inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.

Exemple: voir figure p. `4

Théorèmes: Si trois points `'¨a, `'¨b et `'¨c sont tels que `'¨b¨a!¨a¨c"¨b¨c alors `'¨a appartient au segment `'à¨b¨cù.
Si le point `'¨a appartient au segment `'à¨b¨cù alors `'¨b¨c"¨b¨a!¨a¨c.

Droites particulières dans un triangle
Théorème: Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point, on dit qu'elles sont concourantes.
Exemple: voir figure p. `4

Théorème: Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des trois médiatrices. Il est à égale distance des trois sommets du triangle.

Définitions: Une hauteur d'un triangle est une droite qui est perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé à ce côté.
voir figure p. `5

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui passe par le milieu du côté opposé à ce sommet.
voir figure p. `5

Triangles particuliers
Définition: Dire qu'un triangle est isocèle signifie que ce triangle a deux côtés de même longueur.

Théorèmes: Si un triangle est isocèle alors les deux angles à la base sont égaux.
Si un triangle a deux angles égaux alors ce triangle est isocèle et le troisième angle a pour sommet, le sommet principal.
Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice issues du sommet principal et la médiatrice relative à la base désignent la même droite.

Définition: Dire qu'un triangle est équilatéral signifie que ce triangle a ses trois côtés de même longueur.

Théorèmes: Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles sont égaux à `'60´o.
Si un triangle a trois angles égaux alors ce triangle est équilatéral.
Si un triangle est équilatéral alors la médiane, la hauteur et la bissectrice issue d'un même sommet et la médiatrice du côté opposé désignent la même droite.

Définition: Dire qu'un triangle est rectangle signifie que ce triangle a deux côtés perpendiculaires.

`5) Les parallélogrammes

Propriétés des parallélogrammes
Définition: Dire qu'un quadrilatère est un parallélogramme signifie que ce quadrilatère a ses côtés opposés parallèles.
Théorèmes: Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles.
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Théorèmes: Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés sont égaux.

Les différents parallélogrammes
voir figure p. `6

Un rectangle: est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs perpendiculaires et qui a ses diagonales égales.
Un losange: est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et qui a deux côtés consécutifs égaux.
Un carré est un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux et ses diagonales perpendiculaires ou un losange avec ses diagonales égales et deux côtés consécutifs perpendiculaires.

`6) Aire et périmètre d'une figure

Définitions: Le périmètre d'une figure, c'est la longueur du contour de la figure.
voir figure p. `7

L'aire d'une figure permet de mesurer la place occupée par la figure.

Voici les aires des figures usuelles.
Rectangle: `'¨a"a*b
Carré: `'¨a"c*c
Triangle rectangle: `'¨a"„a*b;/2
Parallélogramme: `'¨a"c*h
Triangle: `'¨a"„c*h;/2
Cercle: `'¨a"¤p*r^2

`7) Les symétries

Définition: Dire que deux points sont symétriques par rapport à une droite signifie que cette droite est la médiatrice du segment formé par ces deux points.
voir figure p. `8

Définition: Par symétrie centrale par rapport à un point, deux dessins symétriques se superposent après un demi-tour autour de ce point. On appelle ce point le centre de symétrie.
voir figure p. `9

Propriétés de la symétrie centrale
Théorèmes: Si trois points sont alignés alors leurs symétriques par rapport à un point sont alignés.
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.
Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même longueur.
Si deux demi-droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles et de sens contraires.
Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils sont égaux.
Si deux cercles sont symétriques par symétrie centrale alors ils ont le même rayon et leurs centres sont symétriques par rapport au centre de la symétrie centrale.

Définition: Un point est centre de symétrie d'une figure si, par symétrie centrale autour de ce point, cette figure et son symétrique sont confondus.

`8) Dans l'espace

Le prisme droit
voir figure p. `9
Définition: Un prisme droit est un solide qui possède:
-deux bases polygonales (triangle, quadrilatère, pentagone, ...) parallèles et superposables;
-des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases.

Le cylindre de révolution
Définition: Un cylindre de révolution est un solide obtenu par une rotation complète d'un rectangle autour de l'un de ses côtés.
Un cylindre de révolution possède:
-deux bases: des disques parallèles et superposables;
-une surface latérale rectangulaire.
voir figure p. `10

Théorème: Volume d'un prisme droit et d'un cylindre de révolution: Volume `'" Aire de la base `'* hauteur
(toutes les longueurs étant exprimées dans la même unité).